Interação gravitacional entre uma massa pontual e um anel de massa M

    Nesse trabalho discutiremos a força gravitacional de um sistema composto de uma massa pontual $m$ e uma distribuição de massa contínua $M$ distribuída uniformemente no formato de um anel de raio $\vec{r'}$. A massa pontual é posicionada a uma distância $\vec{r}$ do centro do anel sobre o eixo que passa por esse centro, como pode ser observado na figura a baixo. Consideraremos que o anel é muito fino, desse modo podemos aproximar o anel por uma circunferência de comprimento $L$ e densidade linear $\rho$. 

    Se queremos encontrar a força gravitacional entre as massas $M$ e $m$ devemos somar a contribuição à força resultante de cada parte infinitesimal de massa $dM$ presente no anel, tal contribuição pode ser obtida pela lei da gravitação universal de Newton, dada por

$$d\vec{F}_r=\frac{GmdM}{R^2}\hat{u},$$

onde $R=|\vec{R}|$ é a distância entre cada elemento de área do anel e a massa pontual e é definida por $R=|\vec{r}-\vec{r'}|$, onde $\hat{u}$ é o vetor unitário que aponta na direção de $\vec{R}$ e é dado por $\hat{u}=\vec{R}/|\vec{R}|$. Essas propriedades geométricas do problema estão ilustradas na figura abaixo.

se queremos encontrar a força resultante sobre a massa puntiforme basta somar todas as partes $dM$ distribuído na massa $M$, isto é, em todo o domínio $D$, o que se traduz a expressão a baixo 

$$\vec{F}_r=\int_D\frac{Gm}{R^2}\hat{u}dM.\ \ \ \ \ \ (1)$$

Podemos reescrever a equação (1) em termos dos vetores $\vec{r}$ e $\vec{r'}$ de modo que obtemos a seguinte expressão 

$$\vec{F}_r=\int_D\frac{Gm}{(|\vec{r}-\vec{r'}|)^2}\frac{\vec{r}-\vec{r'}}{|\vec{r}-\vec{r'}|}dM.\ \ \ \ \ \ (2)$$ 

 

    A princípio a equação (2) pode tornar-se potencialmente complexa, porém a resolução ficara mais simples se escolhermos o referencial de forma adequada, assim escolheremos o referencial com origem $o$ no centro do anel de modo que ele fique contido no plano $yz$, nessa configuração o eixo $ox$ fica ao longo de $\vec{r}$ como é mostrado na figura abaixo.

Sendo o anel descrito pela equação $y^2+z^2=r'^2$ teremos nesse referencial os vetores $\vec{r}$ e $\vec{r'}$ dados em coordenadas cartesianas por $\vec{r}=x\hat{i}$ e $\vec{r'}(y)=y\hat{j}+\sqrt{r'^2-y^2}\hat{k}$, porém a geometria do problema sugere que o uso de coordenadas polares é mais adequado para a resolução desse problema, logo substituindo $y=r'\cos\theta$ e $z=r'\sin\theta$ reescrevemos $\vec{r}$ e $\vec{r'}$ da seguinte forma

$$\vec{r}=x\hat{i},$$

$$\vec{r'}(\theta)=r'\cos\theta\hat{j}+r'\sin\theta\hat{k},$$

uma vez encostradas as posições das massam $m$ e $dM$ o vetor $\vec{R}=\vec{r}-\vec{r'}$ fica perfeitamente definido por 

$$\vec{r}-\vec{r'}=x\hat{i}-r'\cos\theta\hat{j}-r'\sin\theta\hat{k},\ \ \ \ \ \ (3)$$

assim como seu modulo

$$|\vec{r}-\vec{r'}|=\sqrt{x^2+r'^2\cos^2\theta+r'^2\sin^2\theta}=\left( x^2+r'^2\left\lbrace \cos^2\theta+\sin^2\theta\right\rbrace \right)^{\frac{1}{2}},$$

finalmente sendo $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ obtemos

$$|\vec{r}-\vec{r'}|=\left( x^2+r'^2\right)^{\frac{1}{2}}.\ \ \ \ \ \ (4)$$

Substituindo as expressões (4) e (3) na expressão (2) obtemos

$$\vec{F}_r=\int_D\frac{Gm}{\left[\left( x^2+r'^2\right)^{\frac{1}{2}} \right] ^2}\frac{x\hat{i}-r'\cos\theta\hat{j}-r'\sin\theta\hat{k}}{\left( x^2+r'^2\right)^{\frac{1}{2}}}dM.\ \ \ \ \ \ (5)$$ 

    Note que precisamos transformar o diferencial $dM$ em $d\theta$ para que a integração seja possível, para tal basta lembrar que a distribuição de massa $M$ está aproximada por uma circunferência de densidade linear $\rho$ de modo que $dM=\rho dl$, onde $dl$ é um pequeno comprimento de arco em que a massa $dM$ está contida. 

Finalmente usando a relação trigonométrica $dl=r'd\theta$ obtemos $dM=\rho r'd\theta$. Devemos somar ao longo de toda a circunferência de modo que o domínio de integração é $0\leqslant\theta\leqslant2\pi$, dessa forma a equação (5) torna-se 

$$\vec{F}_r=\int_{0}^{2\pi}\frac{Gm}{\left( x^2+r'^2\right)^{\frac{3}{2}}}\left( x\hat{i}-r'\cos\theta\hat{j}-r'\sin\theta\hat{k}\right) \rho r'd\theta.\ \ \ \ \ \ (6)$$ 

Temos que resolver três integrais, o que fica claro ao reescrevermos a expressão (6) da seguinte forma 

$$\vec{F}_r=\frac{Gm\rho r'}{\left( x^2+r'^2\right)^{\frac{3}{2}}}\left(x\int_{0}^{2\pi} \ d\theta\hat{i}-r'\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\ d\theta\hat{j}-r'\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\ d\theta\hat{k}\right) .$$

A soma das contribuições nas direções $y$ e $z$ resultam em zero, logo basta somar as contribuições na direção $x$, o que resulta em

$$\vec{F}_r=\frac{Gm\rho (2\pi r')x}{\left( x^2+r'^2\right)^{\frac{3}{2}}}\hat{i}.$$

Note que $2\pi r'$ é o valor do comprimento total da circunferência, isto é $L$, logo  

$$\vec{F}_r=\frac{Gm(\rho L)x}{\left( x^2+r'^2\right)^{\frac{3}{2}}}\hat{i}.$$

a multiplicação da densidade linear pelo comprimento da circunferência resulta na massa total do anel, ou seja, $M=\rho L$, dessa forma encontramos a solução final do nosso problema

$$\vec{F}_r=\frac{GmM}{\left( x^2+r'^2\right)^{\frac{3}{2}}}x\hat{i}.\ \ \ \ \ \ (7)$$

     Vamos agora estudar um resultado interessante que é o caso particular em que a distância $r=x$, entre as massas $m$ e $M$, é muito grande. Nessa aproximação teremos que $x$ é muito maior que $r'$ de modo que $x^2+r'^2\approx x^2$ aplicando essa aproximação na equação (7) obtemos 

$$\vec{F}_r=\frac{GmM}{\left( x^2\right)^{\frac{3}{2}}}x\hat{i}=\frac{GmM}{x^3}x\hat{i}=\frac{GmM}{x^2}\frac{x\hat{i}}{x},$$

note que $\vec{r}=x\hat{i}$ e $r=x$, logo 

$$\vec{F}_r=\frac{GmM}{r^2}\frac{\vec{r}}{r},$$

finalmente sendo $\hat{u}=\vec{r}/r$ obtemos 

$$\vec{F}_r=\frac{GmM}{r^2}\hat{u},$$

isso significa que quando $r=x$ é muito grande a interação gravitacional entre a massa $m$ e a distribuição de massa $M$ se comporta como uma interação entre duas massas pontuais.