Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 9.11

9.11) Um caminhão carregado, de massa total 3 toneladas, viajando para o norte a $60km/h$, colide com um carro de 1 tonelada, trafegando para leste a $90km/h$, num cruzamento. Calcule em que direção e de que distância o carro é arrastado pelo camisão, sabendo que o coeficiente de atrito cinético no local do acidente é 0,5.

Adotando o referencial no ponto de colisão entre o carro e o caminhão temos a seguinte situação,

inicialmente o caminhão de massa $M$ viaja com velocidade $\vec{v}$ para norte, de modo que no nosso sistema de referencial a velocidade do caminhão é $$\vec{v}=v\hat{j},$$ enquanto o carro de massa $m$ viaja para leste com velocidade $\vec{V}$ de forma que no sistema adotado $$\vec{V}=V\hat{i},$$ logo o momento total inicial $\vec{P}_i$ do sistema será
$$\vec{P}_i=mV\hat{i}+Mv\hat{j}.$$

 No segundo momento o caminhão colide inelasticamente com o carro de modo que os dois se movimentam juntos com velocidade $\vec{v}_f$ logo o momento total final $\vec{P}_f$ do sistema é dado por $$\vec{P}_f=\left(M+m\right)\vec{v}_f$$ Supondo que o momento total é conservado na colisão teremos que $\vec{P}_i=\vec{P}_f$, ou seja $$mV\hat{i}+Mv\hat{j}=\left(M+m\right)\vec{v}_f$$ dessa forma concluímos que a velocidade final $\vec{v}_f$ do conjunto caminhão/carro tem a direção $$\vec{v}_f=\frac{mV}{\left(M+m\right)}\hat{i}+\frac{Mv}{\left(M+m\right)}\hat{j}.$$ Ou em modulo $$v_f=\frac{1}{\left(M+m\right)}\sqrt{\left( mV\right)^2+\left( Mv\right)^2}.\ \ \ \ \ (2)$$ As forças que atuam sobre o sistema logo apos a colisão é a força de atrito $F_a$, em modulo isso se resume em, $$F_R=F_a\Rightarrow$$ $$F_R=\mu_cN\Rightarrow$$ $$F_R=-\mu_c(M+m)g\Rightarrow$$ $$\left(M+m\right)a=-\mu_c\left( M+m\right) g\Rightarrow$$ $$a=-\mu_cg.\ \ \ \ \ (2)$$ Sabendo que o conjunto carro/caminhão desacelera de $v_f$ ate zero em uma distância $\Delta S$ teremos que, $$v^2=v_0^2+2a\Delta S$$ Aplicando as equações (1) e (2) na equação de Torricelli obtemos, $$0=\frac{1}{\left(M+m\right)^2}\left( \left( mV\right)^2+\left( Mv\right)^2\right) -2\mu_cg\Delta S\Rightarrow$$ $$\Delta S=\frac{\left( mV\right)^2+\left( Mv\right)^2}{2\mu_cg\left(M+m\right)^2} $$ Substituindo os valores do problema de forma adequada obtemos $$\Delta S=\frac{\left( (1t)(90km/h)\right)^2+\left( (3t)(60km/h)\right)^2}{2(0,5)(127008km/h^2)(3t+ 1t)^2}=0,019km$$ ou $$\Delta S=19m$$