7.5) Uma conta de massa m, enfiada num aro circular de raio R que está num plano vertical, desliza sem atrito da posição A, no topo do aro, para a posição B, descrevendo um ângulo $\theta$ (Fig.). (a) Qual é o trabalho realizado pela força de reação do aro sobre a conta? (b) Qual é a velocidade da conta em B?
a) Adotando o referencial com origem no centro do arco, podemos escrever nele as forças que atuam sobre a conta,
A normal $\vec{N}$ que o fio faz sobre a conta, aponta sempre perpendicularmente ao deslocamento $d\vec{l}$, como o trabalho é dado por $W=\vec{N}\cdot d\vec{l}$ o trabalho realizado pela normal é nula.
b) Adotando o referencial no nível potencial de $B$,
Inicialmente a conta está no nível potencial $d$, no segundo momento a conta desce até o nível potencial zero convertendo toda sua energia potencial em energia cinética,
$$mgd=\frac{1}{2}mv^2$$
Explicitando $v$ obtemos,
$$v=-\sqrt{2gd}\ \ \ (1)$$
Precisamos encontrar uma expressão para o nível potencial $d$ em função do ângulo $\theta$. Olhando para o triângulo isósceles formado por $\theta$,
Podemos escrever o comprimento do raio da circunferencial em termos da distância potencial $d$ e o comprimento $l_\theta$,
$$R=l_\theta+d$$
Isolando a distância $d$ obtemos,
$$d=R-l_\theta$$
obtemos a seguinte relação do triângulo retângulo $l_\theta=R\cos\theta$ logo,
$$d=R-R\cos\theta\Rightarrow$$
$$d=R(1-\cos\theta)\ \ \ (2)$$
Substituindo (2) em (1) obtemos,
$$v=-\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$$
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