Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.5

7.5) Uma conta de massa m, enfiada num aro circular de raio R que está num plano vertical, desliza sem atrito da posição A, no topo do aro, para a posição B, descrevendo um ângulo $\theta$ (Fig.). (a) Qual é o trabalho realizado pela força de reação do aro sobre a conta? (b) Qual é a velocidade da conta em B?

a) Adotando o referencial com origem no centro do arco, podemos escrever nele as forças que atuam sobre a conta,

A normal $\vec{N}$ que o fio faz sobre a conta, aponta sempre perpendicularmente ao deslocamento $d\vec{l}$, como o trabalho é dado por $W=\vec{N}\cdot d\vec{l}$ o trabalho realizado pela normal é nula. b) Adotando o referencial no nível potencial de $B$,

Inicialmente a conta está no nível potencial $d$, no segundo momento a conta desce até o nível potencial zero convertendo toda sua energia potencial em energia cinética, $$mgd=\frac{1}{2}mv^2$$ Explicitando $v$ obtemos, $$v=-\sqrt{2gd}\ \ \ (1)$$ Precisamos encontrar uma expressão para o nível potencial $d$ em função do ângulo $\theta$. Olhando para o triângulo isósceles formado por $\theta$,

Podemos escrever o comprimento do raio da circunferencial em termos da distância potencial $d$ e o comprimento $l_\theta$, $$R=l_\theta+d$$ Isolando a distância $d$ obtemos, $$d=R-l_\theta$$ obtemos a seguinte relação do triângulo retângulo $l_\theta=R\cos\theta$ logo, $$d=R-R\cos\theta\Rightarrow$$ $$d=R(1-\cos\theta)\ \ \ (2)$$ Substituindo (2) em (1) obtemos, $$v=-\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$$