Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 6.2

6.2) No sistema da figura, $M=3kg$, $m=1kg$ e $d=2m$. O suporte $S$ é retirado num dado instante. (a) Usando conservação de energia, ache com que velocidade $M$ chega ao chão. (b) Verifique o resultado, calculando a aceleração do sistema pelas leis de Newton.

Adotando o referencial de $M$ no nível do solo $S$ e de $m$ no nível da plataforma, podemos representar as informações do sistema com mais clareza,

Se a energia associada ao sistema é constante então, supondo que a massa da polia seja desprezível assim como a massa das cordas, teremos que a variação da energia é nula, $$\Delta E=0\Rightarrow$$ $$E_i=E_f\ \ \ (1)$$ No primeiro instante o aparato tem apenas uma energia potencial gravitacional associada ao sistema, que é dada pelos seus respectivos referenciais inerciais, $$E_i=Mgh-mgh\ \ \ (2)$$ No segundo momento a energia potencial é totalmente convertido em energia cinética, ou seja, $$E_f=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}mv^2\ \ \ (3)$$ Usando a equação (2) e (3) em (1) obtemos a seguinte relação, $$Mgh-mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}mv^2$$ Explicitando a velocidade obtemos, $$v=-\sqrt{2gh\frac{M-m}{M+m}}$$ Por outro lado, podemos usar as leis de Newton para chegar a mesma conclusão, adotando os referenciais sobre os blocos de massa $M$ e $m$ podemos representar as forças que atuam sobre o sistema durante o movimento,

Usando a segunda lei de Newton obtemos as equações que descrevem o movimento, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T-P_M=-Ma\ \ (4)\\ T-P_m=ma\ \ (5)\\ \end{array}\right.$$ Subtraindo (4) por (5) obtemos, $$P_M-P_m=Ma-ma$$ Explicitando $a$ obtemos, $$a=\frac{(M-m)g}{(M+m)}$$ O sistema descreve um movimento uniformemente acelerado adotando o referencial no solo o movimento é descrito por, $$y=d-\frac{1}{2}\frac{(M-m)g}{(M+m)}t^2\ \ \ (6)$$ No momento em que o bloco de massa $M$ toca o solo $y=0$, dessa forma podemos calcular o tempo $t_q$ de queda, $$0=d-\frac{1}{2}\frac{(M-m)g}{(M+m)}t_q^2\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}\frac{(M-m)g}{(M+m)}t_q^2=d\Rightarrow$$ $$t_q^2=2d\frac{(M+m)}{(M-m)g}\Rightarrow$$ $$t_q=\sqrt{2d\frac{(M+m)}{(M-m)g}}\ \ \ (7)$$ Derivando (6) em função do tempo obtemos a velocidade $v$, $$v=-\frac{(M-m)g}{(M+m)}t\ \ \ (8)$$ Substituindo (7) em (8) obtemos a velocidade de queda, $$v=-\frac{(M-m)g}{(M+m)}\sqrt{2d\frac{(M+m)}{(M-m)g}}\Rightarrow$$ $$v=-\sqrt{2d\frac{(M-m)^2g^2(M+m)}{(M+m)^2(M-m)g}}\Rightarrow$$ $$v=-\sqrt{2dg\frac{M-m}{M+m}}$$

Substituindo os valores do problema obtemos,

$$v=-4,42m/s$$