Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 2.14

14) Deixa se cair uma pedra em um poço profundo. O barulho da queda e ouvido $2s$ depois. Sabendo que a velocidade do som no ar é $330m/s$, calcule a profundidade do poço.

Notamos inicialmente que o intervalo de tempo que demora para uma pessoa no topo do poço ouvir a pedra atingir a água do fundo do poço é um intervalo de tempo de queda ilusório $\Delta t_i$, pois o som tem uma velocidade finita e o som demora um tempo $\Delta t_s$ para voltar até a superfície localizada a uma altura $S_0$ em nosso sistema de referencial, logo nossa primeira informação é que o tempo real $\Delta t_r$ de queda é dado por,

$$\Delta t_r=\Delta t_i-\Delta t_s$$

Como a pedra está em queda livre teremos que $v_0=0$ logo a equação de movimento na direção $y$ é dada por:

$$y=S_0-\frac{1}{2}g\Delta t^2$$

Depois do intervalo de tempo $\Delta t_r$ a pedra atinge o fundo do poço logo,

$$y=S_0-\frac{1}{2}g\Delta t^2\Rightarrow$$

$$0=S_0-\frac{1}{2}g\Delta t_r^2\Rightarrow$$

$$0=S_0-\frac{1}{2}g\left( \Delta t_i-\Delta t_s\right) ^2\Rightarrow$$

$$0=S_0-\frac{1}{2}g\left( \Delta t_i^2-2\Delta t_s\Delta t_i+\Delta t_s^2\right)\ \ \ \ \ (1)$$

A equação que descreve o movimento do som retornando da a superfície é

$$y=V_s\Delta t$$

Onde $V_s$ é a velocidade do som no ar. Em particular quando se decorre um intervalo de tempo $\Delta t_s$ o som chega até a superfície, logo

$$S_0=V_s\Delta t_s$$

o que resulta em

$$\Delta t_s=\frac{S_0}{V_s}\ \ \ \ (2)$$

aplicando a equação (2) em (1) obtemos,

$$0=S_0-\frac{1}{2}g\left( \Delta t_i^2-2\left( \frac{S_0}{V_s}\right) \Delta t_i+\left( \frac{S_0}{V_s}\right) ^2\right)$$

reorganizando os termos obtemos,

$$\left( \frac{g}{2V_s^2}\right)S_0^2+\left( -\left[ 1+\frac{g\Delta t_i}{V_s}\right] \right)S_0+\left( \frac{g\Delta t_i^2}{2}\right) =0  $$

Note que nessa equação o único valor que não é conhecido é $S_0$ logo temos que resolver essa equação de segundo grau de incógnita $S_0$. Podemos multiplicar a equação por $\frac{2V_s^2}{g}$ para simplificar as contas

$$S_0^2+\left( -\left[\frac{2V_s^2}{g} +2V_s\Delta t_i\right] \right)S_0+V_s^2\Delta t_i^2 =0$$

Resolvendo a equação usando a fórmula de Bhaskara obtemos

$$S_0=\frac{\left[\frac{2V_s^2}{g} +2V_s\Delta t_i \right] \pm \sqrt{\left[ \frac{2V_s^2}{g} +2V_s\Delta t_i\right]^2-4V_s^2\Delta t_i^2}}{2}$$

desenvolvendo o termo quadrático dentro da raiz obtemos

$$S_0=\frac{V_s^2}{g} +V_s\Delta t_i  \pm \frac{1}{2}\left(  \frac{4V_s^4}{g^2} +\frac{8V_s^3\Delta t_i}{g}+4V_s^2\Delta t_i^2-4V_s^2\Delta t_i^2\right) ^{\frac{1}{2}}\Rightarrow$$

$$S_0=\frac{V_s^2}{g} +V_s\Delta t_i  \pm \frac{1}{2}\left(  \frac{4V_s^4}{g^2} +\frac{8V_s^3\Delta t_i}{g}\right) ^{\frac{1}{2}}\Rightarrow$$

evidenciando $\frac{4V_s^2}{g^2}$ obtemos e simplificando a equação obtemos,

$$S_0=\frac{V_s^2}{g} +V_s\Delta t_i  \pm \frac{1}{2}\left(  \frac{4V_s^2}{g^2}\left( V_s^2 +2gV_s\Delta t_i\right) \right) ^{\frac{1}{2}}\Rightarrow$$

$$S_0=\frac{V_s^2}{g} +V_s\Delta t_i  \pm \frac{1}{2}\left(  \frac{4V_s^2}{g^2}\left( V_s^2 +2gV_s\Delta t_i\right) \right) ^{\frac{1}{2}}\Rightarrow$$

$$S_0=\frac{V_s^2}{g} +V_s\Delta t_i  \pm \frac{1}{2}\frac{2V_s}{g}\left(  V_s^2 +2gV_s\Delta t_i\right) ^{\frac{1}{2}}\Rightarrow$$

$$S_0=\frac{V_s^2}{g} +V_s\Delta t_i  \pm \frac{V_s}{g}\left(  V_s^2 +2gV_s\Delta t_i\right) ^{\frac{1}{2}}\Rightarrow$$

$$S_0=V_s\left[ \frac{V_s}{g} +\Delta t_i  \pm \frac{1}{g}\left(  V_s^2 +2gV_s\Delta t_i\right) ^{\frac{1}{2}}\right]  $$

Apenas a solução com sinal negativo tem significado físico, logo

$$S_0=V_s\left[ \frac{V_s}{g} +\Delta t_i  - \frac{1}{g}\left(  V_s^2 +2gV_s\Delta t_i\right) ^{\frac{1}{2}}\right]  $$

Substituindo os valores do problema obtemos,

$$S_0=\left( 330m/s\right)\left[ \frac{\left( 330m/s\right) }{\left( 9,8m/s^2\right) } +\left( 2s\right)   - \frac{1}{\left( 9,8m/s^2\right)}\left(  \left( 330m/s\right)^2 +2\left( 9,8m/s^2\right)\left( 330m/s\right)\left( 2s\right) \right) ^{\frac{1}{2}}\right] \Rightarrow $$

$$S_0=18,5m$$