9.12) Uma partícula de velocidade $v_0$ colide elasticamente com outra em repouso. No referencial do CM, a direção do movimento é desviado 60° em virtude da colisão. Calcule os ângulos de deflexão, em relação á direção de movimento da partícula incidente, e as magnitudes das velocidades das duas partículas após a colisão, no referencial do laboratório.
Primeiramente devemos considerar a condição inicial da colisão no referencial do laboratório. Adotando o referencial na partícula que encontra-se inicialmente em repouso temos a seguinte representação no diagrama a baixo,
Note que nessa configuração antes da colisão o centro de massa está sempre entre as duas partículas. Sendo $a$ e $b$ as partículas a esquerda e a direita, respectivamente, podemos calcular a velocidade $\vec{V}_{CM}$ do centro de massa das partículas,
$$\vec{V}_{CM}=\frac{m\vec{v}_{ia}+m\vec{v}_{ib}}{m+m}=\frac{1}{2}\left( v_0\hat{i}+0\hat{j}\right) =\frac{1}{2} v_0\hat{i}$$
Usando a transformação de galileu encontramos as velocidades das partículas em relação ao centro de massa.
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{ia}=v_{ia}-V_{CM}\\
v'_{ib}=v_{ib}-V_{CM}
\end{array}\right.=\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{ia}=v_0-\frac{1}{2} v_0\hat{i}\\
v'_{ib}=0-\frac{1}{2} v_0\hat{i}
\end{array}\right. =\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{ia}=\frac{1}{2} v_0\hat{i}\\
v'_{ib}=-\frac{1}{2} v_0\hat{i}
\end{array}\right..$$
Em relação ao centro de massa nosso diagrama é
Podemos ver que o momento total inicial no referencial do centro de massa é nulo,
$$\vec{P}'_i=m\vec{v}'_a+m\vec{v}'_b=\frac{1}{2} mv_a\hat{i}-\frac{1}{2} mv_b\hat{i}=0$$
como a energia total do sistema é conservado concluímos que o momento total final também é nulo,
$$\vec{P}'_i=\vec{P}'_f=0$$
isso significa que os vetores momento linear das partículas, e como a massa é contante o vetor velocidades final das partículas, no referencial do centro de massa tem mesma direção e intensidade, porém sentidos diferentes, podemos ver tal disposição no diagrama abaixo.
Tais ângulos são conhecidos, pois como o ângulo entre os vetores velocidades $\vec{v}'_{fa}$ e $\vec{v}'_{fb}$ é $\pi$ teremos que
$$\theta'_a+\theta'_b=\pi$$
ou seja, sendo $\theta'_a=60°=\frac{\pi}{3}$ dado no enunciado do problema teremos que
$$
\left\lbrace \begin{array}{ll}
\theta'_a=\frac{\pi}{3}\ \ \ \ (1)\\
\theta'_b=-\frac{2\pi}{3}\ \ \ \ (2)
\end{array}\right.
$$
podemos ainda descobrir o modulo das velocidades finais $v'_{fa}$ e $v'_{fb}$ pois a energia é conservada,
$$\frac{1}{2}mv'^{2}_{ia}+\frac{1}{2}mv'^{2}_{ib}=\frac{1}{2}mv'^{2}_{fa}+\frac{1}{2}mv'^{2}_{fb}\Rightarrow$$
$$v'^{2}_{ia}+v'^{2}_{ib}=v'^{2}_{fa}+v'^{2}_{fb}\Rightarrow$$
$$\left(\frac{1}{2}v_0\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2}v_0\right)^{2}=v'^{2}_{fa}+v'^{2}_{fb}\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}v^{2}_0=v'^{2}_{fa}+v'^{2}_{fb}$$
como $v'_{fa}=-v'_{fb}$ obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{fa}=\frac{1}{2}v_0\\
v'_{fb}=\frac{1}{2}v_0
\end{array}\right. $$
Por outro lado no referencial do laboratório a colisão se da por meio de outra configuração de modo que a deflexão das partículas com relação ao eixo $x$ são $\theta_a$ e $\theta_b$, podemos ver abaixo a configuração final do sistema após a colisão no referencial do laboratório
usando conservação de energia no referencial do laboratório obtemos
$$\frac{1}{2}mv^2_{ia}=\frac{1}{2}mv^2_{fa}+\frac{1}{2}mv^2_{fb}\Rightarrow$$
$$v^2_{ia}=v^2_{fa}+v^2_{fb}\ \ \ \ (3)$$
ainda na referencial do centro de massa a conservação do momento linear é
$$\vec{P}_{ia}=\vec{P}_{fa}+\vec{P}_{fb}$$
como a massa é a mesma obtemos,
$$\vec{v}_{ia}=\vec{v}_{fa}+\vec{v}_{fb}$$
realizando o produto escalar em ambos os membros da equação mantemos a validade da igualdade inalterada,
$$\vec{v}_{ia}\cdot\vec{v}_{ia}=\left( \vec{v}_{fa}+\vec{v}_{fb}\right) \cdot\left( \vec{v}_{fa}+\vec{v}_{fb}\right) \Rightarrow$$
$$\vec{v}_{ia}\cdot\vec{v}_{ia}=\vec{v}_{fa}\cdot\vec{v}_{fa}+\vec{v}_{fb}\cdot\vec{v}_{fb}+2\vec{v}_{fa}\cdot\vec{v}_{fb}\Rightarrow$$
$$v^2_{ia}=v^2_{fa}+v^2_{fb}+2\vec{v}_{fa}\cdot\vec{v}_{fb}\ \ \ \ (4)$$
comparando as equações (3) e (4) obtemos
$$\vec{v}_{fa}\cdot\vec{v}_{fb}=0$$
isso implica que os vetores velocidade final das partículas no referencial do laboratório são ortogonais.
Podemos comparar, agora, as velocidades das partículas no referencial do centro de massa e do laboratório para obter mais informações,
como $v'_{fa}=v'_{fb}=V_{CM}$ os triângulos formado por $\vec{v}'_{fa}$, $\vec{v}_{fa}$ e $\vec{V}_{CM}$ assim como $\vec{v}'_{fb}$, $\vec{v}_{fb}$ e $\vec{V}_{CM}$ são isósceles e tem como propriedade que os ângulos de sua base são iguais, pode-se determinar que estes ângulos são $\theta_a$ e $\theta_b$,
uma rápida análise do diagrama mostra que,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\theta_a=\frac{1}{2}\theta'_a\ \ \ \ \ \ (5)\\
\theta_b=\frac{1}{2}\theta'_b\ \ \ \ \ \ \ (6)
\end{array}\right.$$
usando a equação (1) em (5) e (2) em (6) obtemos o angulo de deflexão em relação ao referencial do laboratório,
$$R_1:\left\lbrace \begin{array}{ll}
\theta_a=\frac{\pi}{6}=30°\\
\theta_b=-\frac{\pi}{3}=-60°
\end{array}\right.$$
Quanto ao modulo das velocidades finais das partículas em relação ao referencial do laboratório pode ser obtida pela conservação de momento linear antes e depois da partícula,
$$\vec{P}_{ia}=\vec{P}_{fa}+\vec{P}_{fb}$$
como as massa são iguais teremos que
$$\vec{v}_{ia}=\vec{v}_{fa}+\vec{v}_{fb}$$
note que $\vec{v}_{fa}\perp\vec{v}_{fb}$ somado ao resultado da equação (3) obtemos um tiângulo retângulo,
dessa forma podemos inferir as seguintes relações,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_{fa}=v_{ia}\cos\theta_a\ \ \ \ (7)\\
v_{fb}=v_{ia}\sin\theta_a\ \ \ \ (8)\\
\end{array}\right. $$
Usando as equações $R_1$ em (7) e (8) e lembrando que $v_{ia}=v_0$ obtemos os módulos das velocidades em relação ao referencial do laboratório,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_{fa}=v_{0}\cos\frac{\pi}{6}\\
v_{fb}=v_{0}\sin\frac{\pi}{6}\\
\end{array}\right. \Rightarrow$$
$$R_2:\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_{fa}=\frac{\sqrt{3}}{2}v_{0}\\
v_{fb}=\frac{1}{2}v_{0}\\
\end{array}\right. $$
Dadas as respostas $R_1$ e $R_2$ obtemos que o modulo e o ângulo de deflexão das partículas $a$ e $b$ é:
$$R:\left\lbrace \begin{array}{ll}
a: (\frac{\sqrt{3}}{2}v_{0}\ e\ 30°)\\
b: (\frac{1}{2}v_{0}\ e\ -60°)\\
\end{array}\right. $$
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