9.14) Uma partícula de massa $m$ e velocidade $\vec{u}$ colide elasticamente com outra de massa $M$, inicialmente em repouso no referencial do laboratório. Após a colisão, a partícula de massa $m$ foi defletida em um ângulo de 90°, e a magnitude da sua velocidade foi reduzida para $u/\sqrt{3}$, onde $u=|\vec{u}|$. A partícula de massa $M$ emerge da colisão com velocidade $v$, numa direção que faz um ângulo $\theta$ com $\vec{u}$. (a) Determine $\theta$; (b) Calcule a razão de $\lambda=\frac{M}{m}$ e a velocidade $v$. (c) Determine os ângulos $\theta'_m$ e $\theta'_M$ entre as direções de movimento final de $m$ e $M$, respectivamente, e a direção de $\vec{u}$, no referencial do CM.
(a) No referencial do laboratório teremos o seguinte diagrama de antes e depois da colisão,
a partir dessa informações podemos usar a conservação de momento para obter a seguinte equação vetorial,
$$\vec{P}_{im}=\vec{P}_{fm}+\vec{P}_{fM}\Rightarrow$$
$$mu\hat{i}=\frac{1}{\sqrt{3}}mu\hat{j}+M\vec{v}$$
Tal equação resulta nas seguinte equações escalares,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
mu=Mv\cos\theta\\
0=\frac{1}{\sqrt{3}}mu-Mv\sin\theta
\end{array}\right.$$
isolando $\sin\theta$ e $\cos\theta$ obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{mu}{Mv}\ \ \ \ \ \ (1)\\
\cos\theta=\frac{mu}{Mv}\ \ \ \ \ \ (2)
\end{array}\right.$$
dividindo a primeira equação pela segunda obtemos,
$$\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$
$$\theta=\arctan\left( \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\Rightarrow$$
$$\theta=-30°$$
(b) Olhando para a conservação de energia do sistema, temos que,
$$\frac{1}{2}mu^2=\frac{1}{2}m\left(\frac{1}{\sqrt{3}}u\right)^2+\frac{1}{2}Mv^2 \Rightarrow$$
$$mu^2=\frac{1}{3}mu^2+Mv^2 \Rightarrow$$
$$\left( \frac{u}{v}\right)^2=\frac{3}{2}\frac{M}{m}\ \ \ \ (3)$$
Elevando (2) ao quadrado e substituindo (3) em (2) obtemos,
$$\cos^2\theta=\left( \frac{m}{M}\right)^2\left( \frac{3}{2}\frac{M}{m}\right) $$
como $\theta=30°$ teremos,
$$\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\frac{m}{M}\Rightarrow $$
$$\frac{M}{m}=2\ \ \ \ \ (4)$$
aplicando (4) novamente em (2) obtemos,
$$v=\frac{1}{\sqrt{3}}u \ \ \ \ \ (5)$$
(c) Os vetores velocidades finais $\vec{v}_{fm}$ e $\vec{v}_{fM}$ em relação ao referencial do laboratório são,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{v}_{fm}=\frac{u}{\sqrt{3}}\hat{j}\\
\vec{v}_{fM}=v\cos\theta\hat{i}-v\sin\theta\hat{j}
\end{array}\right. $$
sabendo que $\theta=30°$ e sabendo o valor da velocidade final de $M$ dado pela equação (5)
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{v}_{fm}=\frac{u}{\sqrt{3}}\hat{j}\ \ \ \ \ \ (6)\\
\vec{v}_{fM}=\frac{u}{2}\hat{i}-\frac{\sqrt{3}}{6}u\hat{j}\ \ \ \ \ \ (7)
\end{array}\right. $$
usando as equações (6) e (7) podemos calcular a velocidade do centro de massa,
$$\vec{V}_{cm}=\frac{m\vec{v}_{fm}+M\vec{v}_{fM}}{m+M}\Rightarrow$$
$$\vec{V}_{cm}=\frac{m\frac{u}{\sqrt{3}}\hat{j}+M\left(\frac{u}{2}\hat{i}-\frac{\sqrt{3}}{6}u\hat{j} \right) }{m+M}\Rightarrow$$
$$\vec{V}_{cm}=\frac{Mu}{2\left(M+m\right) }\hat{i}+\frac{\sqrt{3}}{M+m}\left( \frac{2m-M}{6}\right)u\hat{j} $$
lembrando que $m=\frac{1}{2}M$ obtemos,
$$\vec{V}_{cm}=\frac{1}{3}u\hat{i}\ \ \ \ \ \ (8)$$
Usando agora a Transformação de Galileu obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{v}'_{fm}=\vec{v}_{fm}-\vec{V}_{cm}\\
\vec{v}'_{fM}=\vec{v}_{fM}-\vec{V}_{cm}
\end{array}\right. \Rightarrow$$
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{v}'_{fm}=\frac{\sqrt{3}}{3}u\hat{j}-\frac{u}{3}\hat{i}\\
\vec{v}'_{fM}=\frac{u}{6}\hat{i}-\frac{\sqrt{3}u}{6}\hat{j}
\end{array}\right. \Rightarrow$$
dessa forma podemos calcular o ângulo entre esses vetores e a vertical $\hat{i}$,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\cos\theta'_m=\frac{\vec{v}'_m\cdot\hat{i}}{|\vec{v}'_m||\hat{i}|}\\
\cos\theta'_M=\frac{\vec{v}'_M\cdot\hat{i}}{|\vec{v}'_M||\hat{i}|}
\end{array}\right. $$
Realizando os devidos cálculos encontramos que,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\cos\theta'_m=-\frac{1}{2}\\
\cos\theta'_M=\frac{1}{2}
\end{array}\right. $$
ou seja,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\theta'_m=\arccos\left( -\frac{1}{2}\right) \\
\theta'_M=\arccos\left( \frac{1}{2}\right)
\end{array}\right. \Rightarrow$$
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\theta'_m=120° \\
\theta'_M=300°
\end{array}\right. $$
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