Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 9.13

9.13) Um átomo de hidrogênio, movendo-se com velocidade $v$, colide elasticamente com uma molécula de hidrogênio em repouso, sofrendo uma deflexão de $45°$. Calcule: (a) a magnitude da velocidade do átomo apos a colisão; (b) a direção de movimento da molécula (com respeito à direção inicial do movimento do átomo) e a magnitude de sua velocidade.

a ) O diagrama da situação antes e depois da colisão está representado a baixo,

Onde $\theta_1=45°$ como a colisão foi elástica a energia antes e depois da colisão foi conservada,

$$\frac{1}{2}m_1v^2=\frac{1}{2}m_1v^2_{f1}+\frac{1}{2}m_1v^2_{f2}$$

Podemos reescrever essa expressão em função do momento linear de cada partícula,

$$\frac{P^2_{i1}}{2m_1}=\frac{P^2_{f1}}{2m_1}+\frac{P^2_{f2}}{2m_2}$$

explicitando $P^2_{f2}$ obtemos,

$$P^2_{f2}=\frac{m_2}{m_1}\left( P^2_{i1}-P^2_{f1}\right) $$

para facilitar as contas definiremos $\lambda=\frac{m_2}{m_1}$,

$$P^2_{f2}=\lambda\left( P^2_{i1}-P^2_{f1}\right).\ \ \ \ \ (1) $$

Por outro lado como a energia foi conservada teremos que,

$$\vec{P}_{i1}=\vec{P}_{f1}+\vec{P}_{f2}$$

explicitando $\vec{P}_{f2}$ obtemos,

$$\vec{P}_{f2}=\vec{P}_{i1}-\vec{P}_{f1}$$

calculando o produto escalar em ambos os membros obtemos,

$$\vec{P}_{f2}\cdot\vec{P}_{f2}=\left( \vec{P}_{i1}-\vec{P}_{f1}\right)\cdot\left( \vec{P}_{i1}-\vec{P}_{f1}\right) \Rightarrow$$

$$\vec{P}_{f2}\cdot\vec{P}_{f2}=\vec{P}_{i1}\cdot\vec{P}_{i1}+\vec{P}_{f1}\cdot\vec{P}_{f1}-2\vec{P}_{f1}\cdot\vec{P}_{i1}\Rightarrow$$

$$P^2_{f2}=P^2_{i1}+P^2_{f1}-2P_{f1}P_{i1}\cos\theta_1\ \ \ \ \ (2)$$

comparando a equação $(1)$ e $(2)$ obtemos,

$$\lambda\left( P^2_{i1}-P^2_{f1}\right)=P^2_{i1}+P^2_{f1}-2P_{f1}P_{i1}\cos\theta_1\Rightarrow$$

$$\left( 1+\lambda \right) P^2_{f1}-\left( 2P_{i1}\cos\theta_1\right) P_{f1}+\left( 1-\lambda \right) P^2_{i1}=0$$

Essa é uma equação de segundo gral que tem solução,

$$P_{f1}=\frac{P_{i1}}{\left( 1+\lambda \right)}\left[\cos\theta_1\pm\sqrt{\cos^2\theta_1-\left( 1-\lambda^2\right) }\right] $$

reescrevendo $P_{f1}$ e $P_{i1}$ em termo das velocidades,

$$m_1v_{f1}=\frac{m_1v}{\left( 1+\lambda \right)}\left[\cos\theta_1\pm\sqrt{\cos^2\theta_1-\left( 1-\lambda^2\right) }\right] \Rightarrow$$
$$v_{f1}=\frac{v}{\left( 1+\lambda \right)}\left[\cos\theta_1\pm\sqrt{\cos^2\theta_1-\left( 1-\lambda^2\right) }\right] $$

Temos que a massa da molécula do hidrogênio é duas vezes maior que o átomo, teremos que $m_1=\frac{1}{2}m_2$ ou seja $\lambda=2$ logo,

$$v_{f1}=\frac{v}{3}\left[\cos\theta_1\pm\sqrt{\cos^2\theta_1+3}\right] $$

da forma como o referencial foi adotado temos que $v_{f1}>0$ logo apenas a parte positiva é aceitável.

$$v_{f1}=\frac{v}{3}\left[\cos\theta_1+\sqrt{\cos^2\theta_1+3}\right] $$

como $\theta_1=45°$ então $\cos\theta_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

$$v_{f1}=\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{14}}{6}\right)v \Rightarrow$$

$$v_{f1}=\left( 0,86\right) v \ \ \ \ \ (3)$$

\b ) Usando a equação (1) obtemos a velocidade da molécula após a colisão,

$$P^2_{f2}=\lambda\left( P^2_{i1}-P^2_{f1}\right)\Rightarrow$$
$$m^2_2v^2_{f2}=\lambda\left( m^2_1v^2-m^2_1v^2_{f1}\right)\Rightarrow$$
$$\left( \frac{m_2}{m_1}\right)^2 v^2_{f2}=\lambda\left(v^2-v^2_{f1}\right)\Rightarrow$$
$$\lambda^2 v^2_{f2}=\lambda\left(v^2-v^2_{f1}\right)\Rightarrow$$
$$v^2_{f2}=\frac{1}{2}\left(v^2-v^2_{f1}\right)$$
Substituindo (3) na equação obtemos,
$$v^2_{f2}=\frac{1}{2}\left(v^2-\left( 0,86 v\right) ^2\right)\Rightarrow$$
$$v^2_{f2}=(0,5)v^2-(0,37)v^2\Rightarrow$$
$$v_{f2}=\pm\sqrt{0,13}v\Rightarrow$$
$$v_{f2}=(0,36)v\ \ \ \ \ (4).$$

Apos a colisão a conservação de momento nos dá a seguinte equação vetorial,

$$\vec{P}_{i1}=\vec{P}_{f1}+\vec{P}_{f2}$$

que resulta nas seguintes equações escalares,

$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
m_1v_{f1}\cos\theta_1+m_2v_{f2}\cos\theta_2=m_1v\\
m_1v_{f1}\sin\theta_1-m_2v_{f2}\sin\theta_2=0
\end{array}\right. $$

isolando $\sin\theta_2$ na segunda equações obtemos,

$$\sin\theta_2=\frac{m_1}{m_2}\frac{v_{f1}}{v_{f2}}\sin\theta_1\Rightarrow$$
$$\theta_2=\arcsin\left( \frac{m_1}{m_2}\frac{v_{f1}}{v_{f2}}\sin\theta_1\right) \Rightarrow$$
$$\theta_2=\arcsin\left( \frac{1}{\lambda}\frac{v_{f1}}{v_{f2}}\sin\theta_1\right) $$

Substituindo os valores obtemos $(1)$, $(2)$, $\lambda=2$ e $\theta_1=45°$ obtemos,

$$\theta_2=\arcsin\left( \frac{1}{2}\frac{( 0,86) v}{(0,36)v}\sin45°\right) \Rightarrow$$
$$\theta_2=\arcsin(0,848) \Rightarrow$$
$$\theta_2=57°$$

logo a magnitude e a direção da velocidade da molécula é $v_{f2}=(0,36)v$ na direção $-57°$ leste.