10) um jogador de basquete quer encestar uma bola levantando-a desde uma altura de $2m$ do chão, com velocidade de $7m/s$. a distância da bola a vertical que passa pelo cesto é de $3m$. E o aro do cesto está a uma altura de $3,05m$. em que ângulo a bola deve ser elevada.
Supondo que um jogador de basquete de altura $h$ lance uma bola com velocidade $v_0$ em direção a uma cesta localizado a uma distância $d$ e a uma altura $H$ a sua frente, qual deve ser o ângulo $\theta$ formado entre a direção de lançamento e a horizontal para que a bola acerte a cesta.
O primeiro passo para nossa busca por respostas é decidir qual o melhor lugar para posicionar nosso sistema de coordenadas, é fácil perceber que como se trata de um lança mento em duas dimensões o melhor lugar é na mão do jogador com eixo $x$ paralelo ao solo, dessa forma podemos representar tal configuração no seguinte diagrama
Dessa forma podemos escrever as equações de movimento na direção $x$ e na direção $y$ logo
$$\begin{array}{ll}
x=v_0\cos\theta t \\
y=v_0\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2
\end{array}$$
estas equações descrevem onde a bola estará em cada instante, em particular em um momento $t_1$ a bola estará passando pelo aro, nas cordenadas $x=d$ e $y=H-h$ logo
$$\begin{array}{ll}
d=v_0\cos\theta t_1\ \ \ \ (1) \\
H-h=v_0\sin\theta t_1-\frac{1}{2}gt_1^2\ \ (2)
\end{array}$$
como não sabemos o instante $t_1$ podemos reescreve-lo em função de $\theta$ usando a equação (1) logo
$$t_1=\frac{d}{v_0\cos\theta}$$
podemos agora aplicar $t_1$ em (2) e obter
$$H-h=v_0\sin\theta \left( \frac{d}{v_0\cos\theta} \right) -\frac{1}{2}g \left(\frac{d}{v_0\cos\theta}\right)^2$$
podemos reescrever a equação usando identidades trigonométricas
$$H-h=d\tan\theta -\frac{gd^2}{2v_0^2} \left(\frac{1}{\cos^2\theta}\right)$$
lembrando que $1/\cos^2\theta=\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$ obtemos
$$H-h=d\tan\theta -\frac{gd^2}{2v_0^2} \left(1+\tan^2\theta\right)$$
multiplicando a equação por $-\frac{2v_0^2}{gd^2}$ obtemos
$$-\frac{2v_0^2}{gd^2}\left(H-h\right)=-\frac{2v_0^2}{gd}\tan\theta+1+\tan^2\theta$$
reorganizando a equação obtemos
$$\tan^2\theta-\frac{2v_0^2}{gd}\tan\theta+ \left[ 1+ \frac{2v_0^2}{gd^2}\left(H-h\right)\right] =0 $$
note que a única variável que não conhecemos é $\tan\theta$ logo temos uma equação de segundo grau é dada por
$$\tan\theta=\frac{v_0^2}{gd}\pm\sqrt{\frac{v_0^4}{g^2d^2}-\left[ 1+ \frac{2v_0^2}{gd^2}\left(H-h\right)\right]}$$
Apenas a resposta de sinal positivo tem significado físico logo
$$\tan\theta=\frac{v_0^2}{gd}+\sqrt{\frac{v_0^4}{g^2d^2}-\left[ 1+ \frac{2v_0^2}{gd^2}\left(H-h\right)\right]}$$
substituindo os valores do problema obtemos
$$\tan\theta=\frac{(7m/s)^2}{(9,8m/s^2)(3m)}+\sqrt{\frac{(7m/s)^4}{(9,8m/s^2)^2(3m)^2}-1+ \frac{2(7m/s)^2}{(9,8m/s^2)(3m)^2}\left(3,05m-2m\right)}$$
o que resulta em
$$\tan\theta=2,4484$$
ou seja
$\theta\approx(68)°$
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