1) Uma partícula etá em equilíbrio sob a ação de três forças, $\vec{F}_1$, $\vec{F}_2$ e $\vec{F}_3$. Mostre que
$$\frac{|F_1|}{\sin\theta_{23}}=\frac{|F_2|}{\sin\theta_{31}}=\frac{|F_3|}{\sin\theta_{12}}$$
Se as forças que atuam sobre a partícula anulam-se, então os vetores $\vec{F}_1$, $\vec{F}_2$ e $\vec{F}_3$ determinam um triangulo.
Sendo $\theta_{23}$, $\theta_{31}$ e $\sin\theta_{12}$ os ângulos entre as forças dois a dois. Desse modo podemos traça primeiramente uma altura $h$ no triangulo
retiramos desse triangulo as seguintes relações trigonométricas
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
F_1\sin\theta_{31}=h\\
F_2\sin\theta_{23}=h\\
\end{array}\right. ,$$
logo obtemos que
$$F_1\sin\theta_{31}=F_2\sin\theta_{23}\Rightarrow$$
$$\frac{F_1}{\sin\theta_{23}}=\frac{F_2}{\sin\theta_{31}}\ \ \ \ (1)$$
Podemos agora traçar outra altura $h'$ do seguinte modo
de onde podemos reconhecer as seguintes relações trigonométricas
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
F_1\sin\theta_{12}=h'\\
F_3\sin\theta_{23}=h'\\
\end{array}\right. $$
de modo que
$$F_1\sin\theta_{12}=F_3\sin\theta_{23}\Rightarrow$$
$$\frac{F_1}{\sin\theta_{23}}=\frac{F_3}{\sin\theta_{12}}\ \ \ (2)$$
relacionando (1) e (2) obtemos
$$\frac{F_1}{\sin\theta_{23}}=\frac{F_2}{\sin\theta_{31}}=\frac{F_3}{\sin\theta_{12}}$$
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