Circuito R-L-C e oscilações eletromagnéticas fracamente amortecidas

Vimos no estudo de circuito L-C que a energia que é inicialmente armazenada no capacitor oscila entre energia elétrica e magnética indefinidamente, porém, esse é um caso ideal, onde desconsideramos a resistência do condutor do circuito, pois, essa resistência costuma ser pequena, para se ter uma noção a resistência de um fio de cobre de $2,26mm$ de diâmetro a $20°C$ tem uma resistência de $0,004\Omega.m$, o que é relativamente pouco, logo se quisermos estudar oscilações eletromagnéticas com mais realismo, basta adicionar ao circuito L-C uma resistência que seja equivalente a que está contida ao longo condutor do circuito. Esse novo circuito tem o nome de circuito R-L-C e o tipo de oscilação eletromagnética que estudares é a fracamente amortecida. Nosso novo circuito tem a configuração esboçada na figura a baixo, análogo ao caso do circuito L-C, o capacitor é carregado com uma fem ligada a uma chave que pode fechar o circuito tanto com o capacitor quanto com o R-L-C.
Depois que o capacitor é carregado com uma carga $Q_0$ a chave é fechada a esquerda e a corrente começa a fluir, note que no instante $t_0=0$ a energia total do sistema está na forma de energia elétrica $U_0=\frac{1}{2C}Q_0^2$. Em um tempo $t$ qualquer a energia é $$U=\frac{1}{2C}q^2+\frac{1}{2}LI^2,$$ se derivarmos essa expressão no tempo encontramos $$\frac{dU}{dt}=\frac{1}{C}q\frac{dq}{dt}+LI\frac{dI}{dt},$$ Perceba que nesse caso a energia não é conservada, pois, agora o circuito contém um elemento dissipativo, o resistor, logo $\frac{dU}{dt}<0$ e essa energia dissipada é devido ao efeito Jaule $P=RI^2$, energia eletromagnética é convertida em calor, o que resulta em $$-RI^2=\frac{1}{C}q\frac{dq}{dt}+LI\frac{dI}{dt}.$$ Note que a corrente $I$ é a derivada temporal da carga, desse modo podemos cortar $I$ de cada termo e reescrever a equação da seguinte forma: $$\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0.\Rightarrow$$ $$\ddot{q}+\frac{R}{L}\dot{q}+\omega^2_0 q=0.\ \ \ \ (1)$$ Onde $\omega^2_0=\frac{1}{LC}$.Essa é uma equação homogenesia de segundo gral com coeficientes constantes, logo a solução dela é da forma $q(t)=ae^{bt}$, sendo $a$ e $b$ números reais, se substituirmos essa hipótese na equação (1) encontramos $$b^2+\frac{R}{L}b+\omega^2_0=0\ \ \ (2),$$ a equação (2) tem a seguinte solução: $$b=-\frac{R}{2L}\pm\sqrt{\left( \frac{R}{2L}\right)^2-\omega^2_0 }\ \ \ (3)$$ Como a hipótese, que fizemos inicialmente, é de que a resistência seja pequena a solução da equação de segundo gral (3) é complexa, o que implica em $$b=-\frac{R}{2L}\pm\omega i\ \ \ (3)$$ Onde definimos $\omega=\sqrt{\omega^2_0-\left( \frac{R}{2L}\right)^2 }$ como a frequência do sistema, note que $\omega$ difere da frequência natural $\omega_0$ do circuito L-C, para uma resistência muito pequena a frequência do sistema R-L-C decai para a frequência natural, isto é, $\omega\approx\omega_0$. A solução geral da equação (1) é $$q(t)=Ae^{(-\frac{R}{2L}+\omega i)t}+Be^{(-\frac{R}{2L}-\omega i)t}\Rightarrow$$ $$q(t)=e^{-\frac{R}{2L}t}\left( Ae^{\omega it}+Be^{-\omega it}\right)\ \ \ \ (4)$$ Note que em $t_0$ a corrente é nula e a carga é máxima, isto é, $q(0)=Q_0$ e $I(0)=0$, logo se aplicarmos essas condições na equação (4) e sua derivada obteremos as seguintes relações $$\left\lbrace \begin{array}{ll} A+B=Q_0\\ A-B=-\frac{RQ_o}{2L\omega}i \end{array}\right. $$ As constantes $A$ e $B$ são, também, números complexos e essas ultimas duas relações indicam que eles são complexos conjugados, pois, os conjugados tem a propriedade de que sua soma é um número real e sua diferença um complexo puro. Dessa forma podemos reescrever as constantes de (4) como $A=\frac{Q}{2}e^{\varphi i}$ e $B=\frac{Q}{2}e^{-\varphi i}$ o que resulta em $$q(t)=Qe^{-\frac{R}{2L}t}\left( \frac{e^{(\omega t+\varphi)i}+e^{-(\omega t+\varphi)i}}{2}\right)\ \ \ \ (5)$$ Se utilizarmos a equação Euler $e^{xi}=\cos(x)+i\sin(x)$ na equação (5) encontremos: $$q(t)=Qe^{-\frac{R}{2L}t}\cos\left(\omega t+\varphi\right)\ \ \ \ (6)$$ Note que agora as novas contantes a serem determinadas são $Q$ e $\varphi$, se impormos novamente as condições iniciais $q(0)=Q_0$ e $I(0)=0$ na equação (6) e na sua derivada obtemos $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \cos\varphi=\frac{Q_0}{Q}\\ \sin\varphi=0 \end{array}\right. $$ esse resultado implica que $\varphi=0$ e $Q=Q_0$, finalmente a equação para a corrente e carga do circuito R-L-C são: $$\left\lbrace \begin{array}{ll} q(t)=Q_0e^{-\frac{R}{2L}t}\cos\left(\omega t\right)\\ I(t)=-Q_0e^{-\frac{R}{2L}t}\left( \frac{R}{2L}\cos\left(\omega t\right)+\omega \sin\left(\omega t\right)\right) \end{array}\right. $$ Note que as expressões exponencias que parecem nas equações da carga e da corrente diminuem o valor máximo, da carga que está sendo armazenada no capacitor e corrente máxima no condutor, de modo que depois de um tempo muito grande a energia do sistema tende a zero, nesse limite a carga e a corrente no circuito são nulos. A baixo está representado os gráficos da corrente e da carga em função do tempo, em verde está o gráfico da carga $q(t)$ e em vermelho o gráfico da corrente $I(t)$.

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