Energia armazenada em um indutor
A principal função do indutor é armazenar energia na forma de campo magnético em um circuito elétrico, para introduzir o conceito de energia magnética, isto é, energia armazenada em um indutor, vamos voltar a discutir o circuito L-R. Como vimos, o em corrente estacionaria e circuito L-R tal circuito é composto por um indutor um resistor e uma fonte, nesse circuito em particular passa um corrente estacionaria como representado na figura abaixo.
Pela lei de Kirchhoff esse circuito nos da a seguinte equação $$\varepsilon=RI+L\frac{dI}{dt},$$ onde podemos estudar a energia do sistema ao multiplicar a equação por $I$ para obter $$\varepsilon I=RI^2+LI\frac{dI}{dt}.$$ Note que a dimensão do lado esquerdo da equação é de potência $P=(\varepsilon)I=(RI)I=RI^2$, que é a energia fornecida pela fonte por unidade de tempo, o primeiro termo do lado direito da equação representa a dissipação da energia fornecida pela fem em energia térmica, efeito Jaule. Como parte da energia fornecida pela fem está se dissipando a outra parte tem que estar sendo armazenada em algum lugar, que é no indutor, logo a taxa de armazenamento de energia no indutor é representada pelo segundo termo do lado direito da equação do circuito L-R, isto é $$\frac{dU}{dt}=LI\frac{dI}{dt},$$ o que resulta em $$dU=LI\ dI.$$ Inicialmente a energia armazenada assim como a corrente são nulas, no final a energia armazenada e a corrente atingem seu valor máximo $U_B$ e $i$ de modo que $$\int_{0}^{U_B}dU=L\int_{0}^{i} I\ dI.$$ O que por sua vez resulta em $$U_B=\frac{1}{2}Li^2.\ \ \ \ (1)$$
Note que a energia armazenada no indutor depende diretamente da indutância $L$, assim como em um capacitor a energia é proporcional a capacitância. Essa energia é uma energia extensiva, pois, depende de fatores geométricos de $L$. Torna-se interessante definir uma grandeza mais local, que so dependa do campo magnético $B$. Definimos $u_{B}=U_B/V$ a densidade de energia, ou em sua forma diferencial $$u_{B}=\frac{dU_B}{dV}.\ \ \ \ (2)$$ Se lembrarmos da indutância de um solenoide $L=\mu_0n^2lA$, onde $A$ é a área da seção transversal do solenoide e $l$ seu comprimento, note então que $Al=V_s$, sendo $V_s$ o volume do solenoide. Podemos então escrever a energia do solenoide como $$U_B=\frac{1}{2}\mu_0n^2V_si^2.$$ Aplicando a essa expressão em (2) obtemos $$u_{B}=\frac{d}{dV_s}\left[ \frac{1}{2}\mu_0n^2V_si^2\right] \Rightarrow$$ $$u_{B}=\frac{1}{2}\mu_0n^2i^2\Rightarrow$$ $$u_{B}=\frac{1}{2\mu_0}\left( \mu_0ni\right)^2 $$se recordarmos que o campo magnético de um solenoide é dado por $B=\mu_0ni$ obtemos $$u_{B}=\frac{1}{2\mu_0}B^2 .\ \ \ \ (3)$$
Note que tanto a energia dada pela equação (1) quanto a densidade de energia dada pela equação (3) são expressões gerais que valem tanto para o indutor quanto para outras situações. Às duas equações se relacionam da seguinte forma $$U_B=\int_V u_B dV.$$
Pela lei de Kirchhoff esse circuito nos da a seguinte equação $$\varepsilon=RI+L\frac{dI}{dt},$$ onde podemos estudar a energia do sistema ao multiplicar a equação por $I$ para obter $$\varepsilon I=RI^2+LI\frac{dI}{dt}.$$ Note que a dimensão do lado esquerdo da equação é de potência $P=(\varepsilon)I=(RI)I=RI^2$, que é a energia fornecida pela fonte por unidade de tempo, o primeiro termo do lado direito da equação representa a dissipação da energia fornecida pela fem em energia térmica, efeito Jaule. Como parte da energia fornecida pela fem está se dissipando a outra parte tem que estar sendo armazenada em algum lugar, que é no indutor, logo a taxa de armazenamento de energia no indutor é representada pelo segundo termo do lado direito da equação do circuito L-R, isto é $$\frac{dU}{dt}=LI\frac{dI}{dt},$$ o que resulta em $$dU=LI\ dI.$$ Inicialmente a energia armazenada assim como a corrente são nulas, no final a energia armazenada e a corrente atingem seu valor máximo $U_B$ e $i$ de modo que $$\int_{0}^{U_B}dU=L\int_{0}^{i} I\ dI.$$ O que por sua vez resulta em $$U_B=\frac{1}{2}Li^2.\ \ \ \ (1)$$
Note que a energia armazenada no indutor depende diretamente da indutância $L$, assim como em um capacitor a energia é proporcional a capacitância. Essa energia é uma energia extensiva, pois, depende de fatores geométricos de $L$. Torna-se interessante definir uma grandeza mais local, que so dependa do campo magnético $B$. Definimos $u_{B}=U_B/V$ a densidade de energia, ou em sua forma diferencial $$u_{B}=\frac{dU_B}{dV}.\ \ \ \ (2)$$ Se lembrarmos da indutância de um solenoide $L=\mu_0n^2lA$, onde $A$ é a área da seção transversal do solenoide e $l$ seu comprimento, note então que $Al=V_s$, sendo $V_s$ o volume do solenoide. Podemos então escrever a energia do solenoide como $$U_B=\frac{1}{2}\mu_0n^2V_si^2.$$ Aplicando a essa expressão em (2) obtemos $$u_{B}=\frac{d}{dV_s}\left[ \frac{1}{2}\mu_0n^2V_si^2\right] \Rightarrow$$ $$u_{B}=\frac{1}{2}\mu_0n^2i^2\Rightarrow$$ $$u_{B}=\frac{1}{2\mu_0}\left( \mu_0ni\right)^2 $$se recordarmos que o campo magnético de um solenoide é dado por $B=\mu_0ni$ obtemos $$u_{B}=\frac{1}{2\mu_0}B^2 .\ \ \ \ (3)$$
Note que tanto a energia dada pela equação (1) quanto a densidade de energia dada pela equação (3) são expressões gerais que valem tanto para o indutor quanto para outras situações. Às duas equações se relacionam da seguinte forma $$U_B=\int_V u_B dV.$$
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