Para introduzir o assunto de indução é conveniente fazer isso estudando o fluxo magnético de um solenoide de raio $R_1$, por onde passa uma corrente $i_1$, dentro de outro solenoide de raio $R_2$, percorrido por uma corrente $i_2$.
Como os solenoides estão sendo percorridos por correntes existe um campo $\vec{B}_1$ devido a $i_1$, assim como um campo $\vec{B}_2$ devido a $i_2$. Dessa forma existe um fluxo magnético $\Phi_{21}$ (fluxo na área $A_2=\pi R_2^2$ devido ao campo $\vec{B}_1$ provocado pelo solenoide interno) e $\Phi_{11}$ (fluxo na área $A_1=\pi R_1^2$ devido ao campo $\vec{B}_2$ provocado pelo solenoide externo). Um resultado do estudo do calculo de campo magnéticos é o campo produzido no interior de um solenoide de comprimento $l$ e $N$ espiras, que é dado por $$\vec{B}=\left( \frac{N}{l}\mu_0i\right) \vec{n}.$$
Onde $i$ é a corrente percorrida pelo solenoide gerador do campo. Estamos interessados em calcular o fluxo concatenado, isto é, o fluxo do campo $\vec{B}_1$ do solenoide interno nas áreas $A_2$ das $N_2$ espiras do solenoide externo, que é dado por $$\Phi_{21}=N_2\int_{A_2}\vec{B}_1\cdot \vec{n}\ dA_2.$$ Onde $\vec{n}$ é o vetor unitário perpendicular ao plano das espiras. Como o campo é constante em toda a área $A_2$ teremos que $$\Phi_{21}=N_2\vec{B}_1\cdot \vec{n}\ A_2.$$ Note que a área que as linhas de campo do campo $\vec{B}_1$ atravessa não é $A_2=\pi R_2^2$ e sim $A_1=\pi R_1^2$, pois as linhas de campo do solenoide interno estão contidas na região de sua própria área $A_1$ como mostrada na figura.
Logo
$$\Phi_{21}=N_2\vec{B}_1\cdot \vec{n}\ \pi R_1^2.$$
Aplicando o campo $\vec{B}_1=\left( \frac{N_1}{l}\mu_0i_1\right) \vec{n}.$ na expressão obtemos $$\Phi_{21}=N_2\left( \frac{N_1}{l}\mu_0i_1\right) \vec{n}\cdot \vec{n}\ \pi R_1^2$$ Como $\vec{n}\cdot \vec{n}=1$ obtemos $$\Phi_{21}=\left( \frac{N_2N_1\mu_0\pi R_1^2}{l}\right) \ i_1,$$ a constante em parenteses é a constante de indução, essa variável so depende de fatores geométricos, definimos então a constante de indução como $$L_{21}=\frac{\Phi_{21}}{i_1}=\frac{N_2N_1\mu_0\pi R_1^2}{l}.\ \ \ \ (1)$$
De forma análoga podemos calcular o fluxo do campo $\vec{B}_2$ nas áreas $A_1$ das $N_1$ espiras da bobina interna. $$\Phi_{12}=N_1\int_{A_1}\vec{B}_2\cdot \vec{n}\ dA_1.$$ Sabendo que o campo é $$\vec{B}_2=\left( \frac{N_2}{l}\mu_0i_2\right) \vec{n}$$ obtemos $$\Phi_{12}=N_1\left( \frac{N_2}{l}\mu_0i_2\right) \vec{n}\cdot \vec{n}\ A_1, $$ como $\vec{n}\cdot \vec{n}=1$ e $A_1=\pi R_1^2$ termos $$\Phi_{12}=\left( \frac{N_1N_2\mu_0\pi R_1^2}{l}\right) i_2 $$ a constante de indutância, como anteriormente, é $$L_{12}=\frac{\Phi_{12}}{i_2}=\frac{N_1N_2\mu_0\pi R_1^2}{l} \ \ \ \ \ (2)$$
Note que (1) e (2) são idênticas, ou seja, $L_{21}= L_{12}$, essas são definidas constantes de indutância mutua. Uma situação obvia que pode ocorrer é o fluxo da bobina sobre ela mesma, pois, o campo da bobina passa por sua área, logo
$$\Phi=N\int_{S}\vec{B}\cdot \vec{n}\ dS\Rightarrow$$
$$\Phi=N\left( \frac{N}{l}\mu_0i\right) \vec{n}\cdot \vec{n}\ S.\Rightarrow$$
$$\Phi=\left( \frac{N^2\mu_0\pi R^2}{l}\right) i\Rightarrow$$
$$\Phi=Li.$$
A discussão feita até aqui é uma definição da quantidade $L$ (indutância), porém, se a corrente vária no tempo, em um indutor, o campo magnético que ele produz também varia com o tempo, de modo que existe uma variação de fluxo nas áreas das espiras do indutor provocado pelo seu próprio campo magnético, assim gerando uma corrente induzida. Tal corrente induzida é dada por
$$\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=-L\frac{di}{dt}.$$
Note que o sinal negativo (Lei de Lenz) indica que a corrente induzido é contrario a corrente natural do circuito, logo a função de um indutor, em um circuito, é se opor a variação da corrente.
Comentários