Moyses - Curso de Física Básica, Electromagnetismo , Problema Resolvido 8.2

8.2) Dois fios retilíneos paralelos muito longos (tratados como infinitos), separados por uma distância $2b$, transportam correntes de mesma intensidade $i$, em sentidos opostos (um é o retorno do outro). Considere um ponto $P$ qualquer do plano dos fios. Sobre a perpendicular aos fios que passa por $P$, tome a origem $O$ a meio caminho entre os fios, e seja $x$ a abcissa de $P$ em relação a $O$. (a) Calcule a magnitude $B(x)$ do campo magnético em $P$, para $|x|b$. (c) Trace um gráfico qualitativo de $B(x)$.

a) Usar a lei de Biot-Savart para determinar o campo magnético nessa situação, se mostra uma complicação desnecessária, desse modo usaremos a lei de Ampere dada por $$\int\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0i$$ Em um fio retilíneo sabemos que as linhas de campo são círculos, e que o campo $\vec{B}$, assim como o elemento de comprimento $d\vec{l}$, é sempre tangente a esses círculos, logo $\vec{B}\cdot d\vec{l}=Bdl$ o que resulta em $$B\int dl=\mu_0i$$ O comprimento das circunferências é dado por $$2\pi r B=\mu_0i$$ o que resulta em $$B=\frac{\mu_0i}{2\pi r }$$ No caso dos dois fios do problema teremos dois campos, um onde $r=(b+x)$ e outro onde $r=(b-x)$. Como podemos ver na figura em perspectiva a direção e o sentido do campo é dado pela regra da mão direita.

Obtemos então os campos em direção e modulo $$\vec{B}_1=\frac{\mu_0i}{2\pi (b+x)}\hat{k}\ \ \ ;\ \ \vec{B}_2=\frac{\mu_0i}{2\pi (b-x)}\hat{k}$$  Pelo princípio da superposição teremos que $$\vec{B}=\vec{B}_1+\vec{B}_2=\frac{\mu_0i}{2\pi (b+x)}\hat{k}+\frac{\mu_0i}{2\pi (b-x)}\hat{k}\Rightarrow$$ $$\vec{B}=\frac{\mu_0i}{2\pi}\left[ \frac{1}{(b+x)}+\frac{1}{(b-x)}\right] \hat{k}\Rightarrow$$ $$\vec{B}=\frac{\mu_0i}{\pi} \frac{b}{(b^2-x^2)} \hat{k}$$ b) De forma análoga podemos calcular o campo para um ponto $|x|>b$, porem nessa situação teremos as distâncias $r=(x+b)$ e $r=(x-b)$.

Obtemos então o campo $$\vec{B}=\frac{\mu_0i}{2\pi}\left[ \frac{1}{(b+x)}-\frac{1}{(x-b)}\right] \hat{k}\Rightarrow$$ $$\vec{B}=\frac{\mu_0i}{2\pi}\left[ \frac{1}{(b+x)}+\frac{1}{(b-x)}\right] \hat{k}\Rightarrow$$ $$\vec{B}=\frac{\mu_0i}{\pi}\frac{b}{(b^2-x^2)} \hat{k}$$ c)