Moyses - Curso de Física Básica, Electromagnetismo , Problema Resolvido 8.4

8.4) Uma espira quadrada de lado $L$ é percorrida por uma corrente $i$. (a) Determine, em módulo direção e sentido, o campo $B(z)$ num ponto $P$ situado sobre o eixo das espiras (reta perpendicular ao seu plano passando pelo centro $O$ da espira), à distância $z$ de $O$. Para $z=0$, relacione o resultado com o do problema 3. (b) Intérprete o resultado obtido para $z>>L$.

Como na questão 8.2, podemos calcular o campo resultante usando a lei de Biot-Savart. Não precisamos calcular o campo nos quatro lados da espira, pois todos eles geram a mesma contribuição na mesma direção, para o campo basta calcular o campo gerado por um dos lados, multiplicá-lo por quatro e desconsiderar o campo nas direções $\hat{j}$ e $\hat{i}$, pois tais componentes se anulam devido a simetria do problema, dessa forma o campo terá a forma

$$\vec{B}=4\vec{B}'$$

Que por Biot-Savart será

$$\vec{B}=4\frac{\mu_0i}{4\pi}\int_{\frac{L}{2}}^{-\frac{L}{2}}\frac{d\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}\ \ \ \ (1)$$

Supondo que queremos calcular o campo em um ponto $P$ sobre o eixo $oz$, podemos localizar tal posição com o vetor $\vec{P}=z\hat{k}$. Podemos localizar qualquer parte do fio com o vetor $\vec{R}=x\hat{i}+\frac{L}{2}\hat{j}$. Com esse dois vetores podemos calcular o vetor $\vec{r}$ com origem no elemento de corrente e extremidade no ponto $\vec{P}$, que é dado por $\vec{r}=\vec{P}=\vec{R}$, isto é, $\vec{r}=z\hat{k}-x\hat{i}-\frac{L}{2}\hat{j}$

Substituindo essas informações na equação (1) e lembrando que o elemento de comprimento do fio $d\vec{l}=dx\hat{i}$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0i}{\pi}\int_{\frac{L}{2}}^{-\frac{L}{2}}\frac{dx\hat{i}\times(z\hat{k}-x\hat{i}-\frac{L}{2}\hat{j})}{\left[ (z^2+\frac{L^2}{4})+x^2\right]^{\frac{3}{2}}}\Rightarrow$$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0i}{\pi}\int_{\frac{L}{2}}^{-\frac{L}{2}}\frac{z\hat{i}\times\hat{k}-x\hat{i}\times\hat{i}-\frac{L}{2}\hat{i}\times\hat{j}}{\left[ (z^2+\frac{L^2}{4})+x^2\right]^{\frac{3}{2}}}dx$$

O produto vetorial $\hat{i}\times\hat{i}$ é nulo, enquanto $\hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j}$ e $\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}$, logo

$$\vec{B}=\frac{\mu_0i}{\pi}\int_{\frac{L}{2}}^{-\frac{L}{2}}\frac{-z\hat{j}-\frac{L}{2}\hat{k}}{\left[ (z^2+\frac{L^2}{4})+x^2\right]^{\frac{3}{2}}}dx$$

Note que $\hat{j}$ é uma componente cimótrica em relação ao campo na direção $\hat{j}$ gerado pela parte oposta do condutor que estamos calculando, de modo que tais componentes se anulam na soma, logo

$$\vec{B}=-\frac{\mu_0iL}{2\pi}\int_{\frac{L}{2}}^{-\frac{L}{2}}\frac{1}{\left[ (z^2+\frac{L^2}{4})+x^2\right]^{\frac{3}{2}}}dx\hat{k}$$

Realizando a a substituição $x=(z^2+\frac{L^2}{4})^{\frac{1}{2}}\tan\theta$ obtemos

$$\vec{B}=-\frac{\mu_0iL}{2\pi(z^2+\frac{L^2}{4})}\int \cos\theta d\theta\hat{k}\Rightarrow$$

$$\vec{B}=-\frac{\mu_0iL}{2\pi(z^2+\frac{L^2}{4})}\left[ \sin\theta\right]_\theta\hat{k}$$

Devemos agora voltar para a variável $x$ lembrando que $\tan\theta=\frac{x}{(z^2+\frac{L^2}{4})^{\frac{1}{2}}}$, basta agora utilizar as relações trigonométricas para chegar na expressão para $\sin\theta$

$$\tan\theta=\frac{x}{(z^2+\frac{L^2}{4})^{\frac{1}{2}}}\Rightarrow \sec^2\theta=1+\frac{x^2}{z^2+\frac{L^2}{4}}\Rightarrow \cos^2\theta=\frac{z^2+\frac{L^2}{4}}{x^2+z^2+\frac{L^2}{4}}$$
$$\Rightarrow\sin^2\theta=\frac{x^2}{x^2+z^2+\frac{L^2}{4}}\Rightarrow\sin\theta=\frac{x}{(x^2+z^2+\frac{L^2}{4})^{\frac{1}{2}}}$$

Logo

$$\vec{B}=-\frac{\mu_0iL}{2\pi(z^2+\frac{L^2}{4})}\left[ \frac{x}{(x^2+z^2+\frac{L^2}{4})^{\frac{1}{2}}}\right]_{\frac{L}{2}}^{-\frac{L}{2}}\hat{k}$$

Dessa forma obtemos

$$\vec{B}=\frac{\mu_0iL}{2\pi(z^2+\frac{L^2}{4})}\left[ \frac{\frac{L}{2}}{(z^2+\frac{L^2}{2})^{\frac{1}{2}}}+ \frac{\frac{L}{2}}{(z^2+\frac{L^2}{2})^{\frac{1}{2}}}\right]\hat{k}\Rightarrow$$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0iL^2}{2\pi(z^2+\frac{L^2}{4})(z^2+\frac{L^2}{2})^{\frac{1}{2}}}\hat{k}\ \ \ \ (2)$$

Podemos agora relacionar o campo obtido no problema 8.3 para o caso particular em que $z=0$, logo para $z=0$ teremos

$$\vec{B}=\frac{\mu_0iL^2}{2\pi(\frac{L^2}{4})(\frac{L^2}{2})^{\frac{1}{2}}}\hat{k}\Rightarrow$$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0iL^2}{2\pi(\frac{L^2}{4})(\frac{L^2}{4}+\frac{L^2}{4})^{\frac{1}{2}}}\hat{k}\Rightarrow$$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0i\frac{L^2}{2}}{\pi(\frac{L^2}{4})(\frac{L^2}{4}+\frac{L^2}{4})^{\frac{1}{2}}}\hat{k}\Rightarrow$$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0i\frac{L^2}{2}(\frac{L^2}{4}+\frac{L^2}{4})^{\frac{1}{2}}}{\pi(\frac{L^2}{4})(\frac{L^2}{4}+\frac{L^2}{4})}\hat{k}\Rightarrow$$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0i(\frac{L^2}{4}+\frac{L^2}{4})(\frac{L^2}{4}+\frac{L^2}{4})^{\frac{1}{2}}}{\pi(\frac{L^2}{4})(\frac{L^2}{4}+\frac{L^2}{4})}\hat{k}\Rightarrow$$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0i}{\pi(\frac{L}{2})(\frac{L}{2})}\left( \left( \frac{L}{2}\right)^2+\left( \frac{L}{2}\right)^2\right) ^{\frac{1}{2}}\hat{k}$$

Note que esse é o campo do exercício 8.3 para $a=b=\frac{L}{2}$


b) Para $z>>L$ a equação (2) resulta em

$$\vec{B}=\frac{\mu_0iL^2}{2\pi(z^2)(z^2)^{\frac{1}{2}}}\hat{k}\Rightarrow$$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0(iL^2)}{2\pi z^3}\hat{k}$$

Note que a área da espira é $A=L^2$, logo o momento de dipolo da espira é $\vec{m}=iL^2\hat{k}$ dessa forma obtemos

$$\vec{B}=\frac{\mu_0\vec{m}}{2\pi z^3}$$

esse é o campo de um dipolo, de forma que, para para pontos muito longe da origem a expira quadrada se comporta como um dipolo.