Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 8.19

8.19) Um caminhão-tanque cheio de água, de massa total $M$, utilizado para limpar ruas com um jato de água, trafega por uma via horizontal, com coeficiente de atrito cinético $\mu_c$. Ao atingir uma velocidade $v_0$, o motorista coloca a marcha no ponto morto e liga o jato de água, que é enviada para trás com a velocidade v e relativa ao caminhão, com uma vazão de $\lambda$ litros por segundo. Ache a velocidade $v(t)$ do caminhão depois de um tempo $t$. 

 Podemos adotar o referencial sobre o solo, em repouso, e nele representar as forças que atuam sobre o corpo,

As forças que atuam sobre o sistema na direção $x$ e $y$ são, atrito com o solo $F_a$, o empuxo $F_e$ gerado pela perda de massa na intensidade da vazão do volume de água $\lambda$, o peso $P$ do sistema e a normal $N$, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N-P=0\\ F_e-F_a=F\\ \end{array}\right.$$ Olhando para a equação da força na direção $x$ podemos usar o resultado de equilíbrio na direção $y$ para representar a força de atrito na direção $x$, $$F_e-mg\mu_c=F$$ O empuxo é dado pela taxa de variação da massa do sistema multiplicado pela velocidade $u=v-v_e$ da massa perdida segundo o referencial adotada, note que $v_e$ é a velocidade de ejeção da massa de água segundo o caminhão que viaja a uma velocidade $v$, $$\frac{dm}{dt}\left(v-v_e \right) -mg\mu_c=F$$ O momento relacionado ao sistema $P=mv$, onde tanto a massa quanto a velocidade variam com o tempo, pode ser derivado no tempo para representar a força $F$, $$\frac{dm}{dt}\left(v-v_e \right)-mg\mu_c=\frac{d}{dt}\left[mv \right] \Rightarrow$$ $$\frac{dm}{dt}v-\frac{dm}{dt}v_e-mg\mu_c=\frac{dm}{dt}v+m\frac{dv}{dt} \Rightarrow$$ $$-\frac{dm}{dt}v_e-mg\mu_c=m\frac{dv}{dt} \Rightarrow$$ $$mdv=-v_edm-mg\mu_cdt\Rightarrow$$ $$dv=-v_e\frac{1}{m}dm-g\mu_cdt$$ Integrando a expressão obtemos, $$\int_{v_0}^{v}dv=-v_e\int_{m_i}^{m}\frac{1}{m}dm-\int_{t_i}^{t}g\mu_cdt\Rightarrow$$ $$v-v_0=-v_e\ln\left( \frac{m}{m_i}\right) -\left( t-t_i\right) g\mu_c$$ Supondo que o tempo inicial $t_i=0$ é o momento em que o motorista coloca o caminhão em ponto morto com velocidade $v_0$ inicial, massa inicial $m_i=M$ e que é ligado o jato de água, $$v-v_0=-v_e\ln\left( \frac{m}{M}\right) -g\mu_ct$$ Note que a massa $m$ do caminhão em um momento posterior, sendo $\lambda$ a vazão e $\rho$ a densidade da água, $m=M-\rho\lambda t$, logo, $$v(t)=v_0 -g\mu_ct+v_e\ln\left( \frac{M}{M-\rho\lambda t}\right)$$