9.7) Num brinquedo bem conhecido, uma série de bolinhas metálicas idênticas, suspensas por fios idênticos presos a um suporte, estão inicialmente todos em contato. Se um determinado número $n$ de bolas é deslocado conjuntamente da posição de equilíbrio e solto (figura), o efeito da colisão com as demais é transferir a velocidade $v$ com que colidem a um igual número de bolas na outra extremidade, suspendendo-as.
a) Supondo que o efeito de colisão fosse transferir uma velocidade $v'$ a $n'$ bolas adjacentes situadas na outra extremidade, as colisões sendo todas elásticas, mostre que se tem, necessariamente, $n'=n$ e $v'=v$. b) Tomando $n=2$, e supondo que o efeito da colisão seja transferir velocidade $v_1$ e $v_2$ ás duas bolas situadas mais à direita (figura), mostre que, necessariamente $v_1=v_2=v$.
a) Adotando o referencial sobre a mesa podemos representar a colisão entre $n'$ partículas suspensas com $n$ partículas em repouso. Após elevar as $n$ partículas de massa $m$ elas adquirem uma velocidade $v$ logo antes da colisão fazendo com que $n'$ bolas se elevem na outra extremidade partindo do repouso com velocidade $v'$, logo depois da colisão a velocidade das bolinhas inicialmente em repouso são,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_{f}=\frac{nm-n'm}{n'm+nm}v\ \ \ (1)\\
v'=\frac{2nm}{nm+n'm}v\ \ \ (2)\\
\end{array}\right. $$
Supondo que às duas bolinhas, que foram levantadas e liberadas de uma certa altura, fiquem em repouso após a colisão, teremos que $v_f=0$, logo a equação de número (1) é dada por,
$$v_{f}=\frac{nm-n'm}{n'm+nm}v\Rightarrow$$
$$0=\frac{nm-n'm}{n'm+nm}v\Rightarrow$$
$$0=nm-n'm\Rightarrow$$
$$n=n'$$
Sendo assim se o número de bolinhas que foram levantadas após a colisão é igual pela equação (2) teremos que,
$$v'=\frac{2nm}{nm+n'm}v\Rightarrow$$
$$v'=\frac{2nm}{nm+nm}v\Rightarrow$$
$$v'=\frac{2nm}{2nm}v\Rightarrow$$
$$v'=v$$
Ou seja, $v'=v$ e $n'=n$.
b) Supondo que o número de bolinhas que é levantado inicialmente é $n=2$ e que as duas atingem o conjunto levantando duas bolinhas que adquirem velocidade $v_1$ e $v_2$, essas duas bolinhas tem um centro de massa, que após a colisão, viajam com velocidade $V$,
Dessa forma a equação das velocidades finais de ambos os conjuntos serão,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_{f}=\frac{m-m}{m+m}v=0\ \ \ (3)\\
V=\frac{4m}{2m+2m}v\ \ \ (4)\\
\end{array}\right. $$
Olhando mais atentamente para a equação (4) e representando $V$ em termos de $v_1$ e $v_2$ obtemos,
$$V=\frac{4m}{2m+2m}v\Rightarrow$$
$$\frac{mv_1+mv_2}{2m}=\frac{4m}{2m+2m}v\Rightarrow$$
$$\frac{v_1+v_2}{2}=v\Rightarrow$$
$$v_1+v_2=2v\ \ \ (5)$$
Como a colisão é por hipótese elástica, então a energia cinética se conserva no processo, logo,
$$\frac{1}{2}(2m)v^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2\Rightarrow$$
$$v^2=\frac{1}{2}v_1^2+\frac{1}{2}v_2^2\ \ \ (6)$$
Isolando $v$ em (5) e aplicando em (6) obtemos,
$$\left(\frac{1}{2}v_1 +\frac{1}{2}v_2\right) ^2=\frac{1}{2}v_1^2+\frac{1}{2}v_2^2\Rightarrow$$
$$\frac{1}{4}\left(v_1^2+2v_1v_2+v_2^2\right)=\frac{1}{2}v_1^2+\frac{1}{2}v_2^2\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}v_1^2+v_1v_2+\frac{1}{2}v_2^2=v_1^2+v_2^2\Rightarrow$$
$$-\frac{1}{2}v_1^2+v_1v_2-\frac{1}{2}v_2^2=0\Rightarrow$$
$$v_1^2-2v_1v_2+v_2^2=0\Rightarrow$$
$$\left( v_1-v_2\right) ^2=0\Rightarrow$$
$$v_1-v_2=0\Rightarrow$$
$$v_1=v_2$$
Substituindo os valores na equação (5) obteremos também que,
$$v_1=v_2=v$$
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