9.6) (a) Que fração f da energia cinética é transferida por uma partícula de massa m, que se move com velocidade v, numa colisão frontal elástica com uma partícula de massa m′ inicialmente em repouso? Exprima o resultado em função da razão λ=m′m Para que valor de λ a transferência é máxima, e quanto vale? (b) Coloca-se entre as duas partículas uma terceira, de massa m′, em repouso, alinhada com m e m′. Mostre que a transferência de energia cinética de m para m′ é máxima quando m″=√mm′. Mostre que, para m≠m′ , a presença da partícula intermediária possibilita transferir mais energia cinética de m para m′ do que no caso (a).
a) Podemos usar o resultado (9.4.11) para determina a velocidade após a colisão,
{vf=(m−m′m+m′)vi+(2m′m+m′)v′iv′f=(2mm+m′)vi−(m−m′m+m′)v′i
Supondo que a massa
m′ está inicialmente em repouso teremos que
v′i=0, logo,
{vf=(m−m′m+m′)vi (1)v′f=(2mm+m′)vi (2)
A seguir uma imagem de antes e depois da colisão,
Para determinar tal fração
f pedida, que é basicamente a variação da energia cinética
ΔT da ultima colisão dividido pela energia cinética inicial do sistema, devemos calcular primeiro a variação da energia cinética da primeira partícula de massa
m devido a colisão,
ΔT=12mv2f−12mv2i
Usando a equação (1) obtemos,
ΔT=12m(m−m′m+m′)2v2i−12mv2i⇒
ΔT=12m[(m−m′m+m′)2−1]v2i⇒
dividindo o numerador e do denominador de fração por
m2 obtemos,
ΔT=12m[(1−m′m1+m′m)2−1]v2i⇒
O problema pede que coloquemos a equação em função do fator
λ=m′m para que possamos determinar qual a combinação de valores de massa que torna a variação de energia cinética máxima,
ΔT=12m[(1−λ1+λ)2−1]v2i
Desenvolvendo a equação obtemos uma expressão reduzida, podemos reescrever o numero um como a fração de numerador e denominador iguais da forma que nos formais conveniente,
ΔT=12m[(1−λ1+λ)2−(1+λ1+λ)2]v2i⇒
ΔT=12m[1−2λ+λ2(1+λ)2+−1−2λ−λ2(1+λ)2]v2i⇒
ΔT=12m[−4λ(1+λ)2]v2i
A fração
f é dada por,
f=ΔTTi
Substituído a energia cinética inicial da partícula
m e a variação da energia cinética da mesma antes e depois da colisão,
f=12m[−4λ(1+λ)2]v2i12mv2i
Dessa expressão obtemos a função que descreve a transferência de energia cinética da colisão em função de
λ,
f=−4λ(1+λ)2 (3)
Determinar os valores máximos das massa
m e
m′ para que a transferência seja máxima é determinar o valor
λ que maximiza a função
f, derivando a expressão e igualando a zero encontraremos os pontos críticos da expressão,
dfdλ=−4(1+λ)2+8λ(1+λ)(1+λ)4⇒
dfdλ=−4+4λ2(1+λ)4⇒
0=−4+4λ2(1+λ)4⇒
λ=±1
Como o sinal negativo não tem significado físico teremos apenas a parte positiva como solução,
λ=1
b) Devemos examinar as colisões importantes que acontecerão, a colisão entre a partícula
m e partícula
m″ e em seguida a colisão entre a partícula
m″ e
m′, a priore teremos a partícula de massa
m com velocidade
vi na direção da partícula de massa
m″ que está inicialmente em repouso,
Após a colisão as partículas adquirem velocidades,
{vf=m−m″m+m″viv″f=2mm+m″vi (4)
Em seguida a partícula de massa
m″ segue com velocidade
v″f em direção ao corpuscular de massa
m′ inicialmente,
Apos a colisão das partículas
m″ e
m′ elas adquirem velocidade,
{v″2f=m″−m′m′+m″v″fv′f=2m″m′+m″v″f
Substituindo o resultado (4) na expressão obtemos,
{v″2f=m″−m′m′+m″2mm+m″viv′f=2m″m′+m″2mm+m″vi (5)
Usando a equação (5) podemos calcular a variação da energia cinética
ΔT′ da partícula de massa
m′ e relaciona-la com a energia cinética
Ti antes das duas colisões e obter a função
f′ que descreve quanta energia foi transferida nas colisões,
ΔT′=12m′v′2f−12m′v′2i
Como a partícula de massa
m′ é suposta em repouso antes da colisão teremos que
v′i=0, logo,
ΔT′=12m′v′2f
Usando o resultado (5) obtemos,
ΔT′=12m′(2m″m′+m″2mm+m″vi)2
Reescrevendo a equação encontramos,
ΔT′=8m′m″2m2(m′+m″)2(m+m″)2v2i
Podemos usar o seguinte truque para fazer aparecer a energia cinética inicial do sistema,
ΔT′=8m′m″2m2(m′+m″)2(m+m″)22m{12mv2i}
Note que a expressão a direita nada mais é que
Ti, logo,
ΔT′=16m′m″2m(m′+m″)2(m+m″)2Ti
Temos que
f′ é dado por,
f′=ΔT′Ti⇒
f′=16m′m″2m(m′+m″)2(m+m″)2TiTi⇒
f′=16mm′m″2(m′+m″)2(m+m″)2 (6)
O problema nos pede para determinar a massa
m″ que maximiza a transferencial de energia entre
m′ e
m, tal comparação de energia é dada por
f′ o que significa que encontrar tal valor é encontra qual valor de
m″ que maximiza
f′, podemos então derivar
f′ e igualar a zero para determinar os pontos críticos de
f′,
df′dm″=ddm″[16mm′m″21(m′+m″)21(m+m″)2]⇒
0=ddm″[16mm′m″21(m′+m″)21(m+m″)2]⇒
0=(m″+m′)2(m+m″)2−m″[(m″+m′)(m+m″)2+(m″+m′)2(m+m″)]⇒
(m″+m′)(m+m″)=m″[(m+m″)+(m″+m′)]⇒
m″m+m″2+mm′+m′m″=mm″+m′m″+2m″2⇒
m″2=mm′⇒
m″=±√mm′
Como a parte negativa não faz sentido físico então,
m″=√mm′
d) Queremos mostrar então que a presença de uma partícula intermediaria possibilita a transferencial de mais energia no caso em que a transferencial é máxima e
m≠m′, ou seja,
λ≠1, sabemos que
m″=√mm′, logo, podemos aplicar esse resultado na equação (6) e obter,
f′=16m2m′2(m′+√mm′)2(m+√mm′)2
Colocando
m em evidencia nos dois fatores do denominador da fração obtemos,
f′=16m2m′2m4(m′m+√m′m)2(1+√m′m)2⇒
f′=16m′2m2(m′m+√m′m)2(1+√m′m)2
escrevendo a equação dessa forma podemos escreve-la em termos de
λ,
f′=16λ2(λ+√λ)2(1+√λ)2
Colocando em evidencia
√λ do primeiro fator do denominador da fracão obtemos,
f′=16λ(1+√λ)4 (7)
Dividindo a equação (7) pela equação (3) obtemos uma expressão que se for maior que 1 indica que a transferencial de energia foi maior que a do caso a),
F=f′f=4(1+λ)2(1+√λ)4
Logo se a partícula intermediaria proporciona uma transferencial de energia no caso em que
λ≠1 maior que no caso a) então
λ=1 é um ponto critico de
F, podemos perceber pelo gráfico da equação que esse é um ponto critico,
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