Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 9.6

9.6) (a) Que fração $f$ da energia cinética é transferida por uma partícula de massa $m$, que se move com velocidade $v$, numa colisão frontal elástica com uma partícula de massa $m'$ inicialmente em repouso? Exprima o resultado em função da razão $\lambda=\frac{m'}{m}$ Para que valor de $\lambda$ a transferência é máxima, e quanto vale? (b) Coloca-se entre as duas partículas uma terceira, de massa $m'$, em repouso, alinhada com $m$ e $m'$. Mostre que a transferência de energia cinética de m para $m'$ é máxima quando $m''=\sqrt{m m'}$. Mostre que, para $m\neq m'$ , a presença da partícula intermediária possibilita transferir mais energia cinética de $m$ para $m'$ do que no caso (a). 



 a) Podemos usar o resultado (9.4.11) para determina a velocidade após a colisão, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} v_f=\left( \frac{m-m'}{m+m'}\right)v_i+\left( \frac{2m'}{m+m'}\right)v'_i\\ v'_f=\left( \frac{2m}{m+m'}\right)v_i-\left( \frac{m-m'}{m+m'}\right)v'_i \\ \end{array}\right. $$ Supondo que a massa $m'$ está inicialmente em repouso teremos que $v'_i=0$, logo, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} v_f=\left( \frac{m-m'}{m+m'}\right)v_i \ \ \ (1)\\ v'_f=\left( \frac{2m}{m+m'}\right)v_i \ \ \ (2)\\ \end{array}\right. $$ A seguir uma imagem de antes e depois da colisão,
Para determinar tal fração $f$ pedida, que é basicamente a variação da energia cinética $\Delta T$ da ultima colisão dividido pela energia cinética inicial do sistema, devemos calcular primeiro a variação da energia cinética da primeira partícula de massa $m$ devido a colisão, $$\Delta T=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2$$ Usando a equação (1) obtemos, $$\Delta T=\frac{1}{2}m\left( \frac{m-m'}{m+m'}\right)^2v_i^2-\frac{1}{2}mv_i^2\Rightarrow$$ $$\Delta T=\frac{1}{2}m\left[ \left( \frac{m-m'}{m+m'}\right)^2-1\right]v_i^2\Rightarrow$$ dividindo o numerador e do denominador de fração por $m^2$ obtemos, $$\Delta T=\frac{1}{2}m\left[ \left( \frac{1-\frac{m'}{m}}{1+\frac{m'}{m}}\right)^2-1\right]v_i^2\Rightarrow$$ O problema pede que coloquemos a equação em função do fator $\lambda=\frac{m'}{m}$ para que possamos determinar qual a combinação de valores de massa que torna a variação de energia cinética máxima, $$\Delta T=\frac{1}{2}m\left[ \left( \frac{1-\lambda}{1+\lambda}\right)^2-1\right]v_i^2$$ Desenvolvendo a equação obtemos uma expressão reduzida, podemos reescrever o numero um como a fração de numerador e denominador iguais da forma que nos formais conveniente, $$\Delta T=\frac{1}{2}m\left[ \left( \frac{1-\lambda}{1+\lambda}\right)^2-\left( \frac{1+\lambda}{1+\lambda}\right) ^2\right]v_i^2\Rightarrow$$ $$\Delta T=\frac{1}{2}m\left[\frac{1-2\lambda+\lambda^2}{\left( 1+\lambda\right)^2}+ \frac{-1-2\lambda-\lambda^2}{\left( 1+\lambda\right)^2}\right]v_i^2\Rightarrow$$ $$\Delta T=\frac{1}{2}m\left[ \frac{-4\lambda}{\left( 1+\lambda\right)^2}\right]v_i^2$$ A fração $f$ é dada por, $$f=\frac{\Delta T}{T_i}$$ Substituído a energia cinética inicial da partícula $m$ e a variação da energia cinética da mesma antes e depois da colisão, $$f=\frac{\frac{1}{2}m\left[ \frac{-4\lambda}{\left( 1+\lambda\right)^2}\right]v_i^2}{\frac{1}{2}mv_i^2}$$ Dessa expressão obtemos a função que descreve a transferência de energia cinética da colisão em função de $\lambda$, $$f=\frac{-4\lambda}{\left( 1+\lambda\right)^2}\ \ \ (3)$$ Determinar os valores máximos das massa $m$ e $m'$ para que a transferência seja máxima é determinar o valor $\lambda$ que maximiza a função $f$, derivando a expressão e igualando a zero encontraremos os pontos críticos da expressão, $$\frac{df}{d\lambda}=\frac{-4\left( 1+\lambda\right)^2+8\lambda\left( 1+\lambda\right) }{\left( 1+\lambda\right)^4}\Rightarrow$$ $$\frac{df}{d\lambda}=\frac{-4+4\lambda^2}{\left( 1+\lambda\right)^4}\Rightarrow$$ $$0=\frac{-4+4\lambda^2}{\left( 1+\lambda\right)^4}\Rightarrow$$ $$\lambda=\pm1$$ Como o sinal negativo não tem significado físico teremos apenas a parte positiva como solução, $$\lambda=1$$ b) Devemos examinar as colisões importantes que acontecerão, a colisão entre a partícula $m$ e partícula $m''$ e em seguida a colisão entre a partícula $m''$ e $m'$, a priore teremos a partícula de massa $m$ com velocidade $v_i$ na direção da partícula de massa $m''$ que está inicialmente em repouso,
Após a colisão as partículas adquirem velocidades, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} v_f=\frac{m-m''}{m+m''}v_i\\ v_f''=\frac{2m}{m+m''}v_i\ \ \ (4)\\ \end{array}\right. $$ Em seguida a partícula de massa $m''$ segue com velocidade $v_f''$ em direção ao corpuscular de massa $m'$ inicialmente,
Apos a colisão das partículas $m''$ e $m'$ elas adquirem velocidade, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} v_{2f}''=\frac{m''-m'}{m'+m''}v_f''\\ v_f'=\frac{2m''}{m'+m''}v_f''\\ \end{array}\right. $$ Substituindo o resultado (4) na expressão obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} v_{2f}''=\frac{m''-m'}{m'+m''}\frac{2m}{m+m''}v_i\\ v_f'=\frac{2m''}{m'+m''}\frac{2m}{m+m''}v_i\ \ \ (5)\\ \end{array}\right. $$ Usando a equação (5) podemos calcular a variação da energia cinética $\Delta T'$ da partícula de massa $m'$ e relaciona-la com a energia cinética $T_{i}$ antes das duas colisões e obter a função $f'$ que descreve quanta energia foi transferida nas colisões, $$\Delta T'=\frac{1}{2}m'v_{f}'^2-\frac{1}{2}m'v_{i}'^2$$ Como a partícula de massa $m'$ é suposta em repouso antes da colisão teremos que $v_i'=0$, logo, $$\Delta T'=\frac{1}{2}m'v_{f}'^2$$ Usando o resultado (5) obtemos, $$\Delta T'=\frac{1}{2}m'\left(\frac{2m''}{m'+m''}\frac{2m}{m+m''}v_i\right) ^2$$ Reescrevendo a equação encontramos, $$\Delta T'=\frac{8m'm''^2m^2}{\left( m'+m''\right)^2\left( m+m''\right)^2}v_i^2$$ Podemos usar o seguinte truque para fazer aparecer a energia cinética inicial do sistema, $$\Delta T'=\frac{8m'm''^2m^2}{\left( m'+m''\right)^2\left( m+m''\right)^2}\frac{2}{m}\left\lbrace \frac{1}{2}mv_i^2\right\rbrace $$ Note que a expressão a direita nada mais é que $T_i$, logo, $$\Delta T'=\frac{16m'm''^2m}{\left( m'+m''\right)^2\left( m+m''\right)^2}T_i $$ Temos que $f'$ é dado por, $$f'=\frac{\Delta T'}{T_i}\Rightarrow$$ $$f'=\frac{\frac{16m'm''^2m}{\left( m'+m''\right)^2\left( m+m''\right)^2}T_i}{T_i}\Rightarrow$$ $$f'=\frac{16mm'm''^2}{\left( m'+m''\right)^2\left( m+m''\right)^2}\ \ \ (6)$$ O problema nos pede para determinar a massa $m''$ que maximiza a transferencial de energia entre $m'$ e $m$, tal comparação de energia é dada por $f'$ o que significa que encontrar tal valor é encontra qual valor de $m''$ que maximiza $f'$, podemos então derivar $f'$ e igualar a zero para determinar os pontos críticos de $f'$, $$\frac{df'}{dm''}=\frac{d}{dm''}\left[ 16mm'm''^2\frac{1}{\left( m'+m''\right)^2}\frac{1}{\left( m+m''\right)^2}\right] \Rightarrow$$ $$0=\frac{d}{dm''}\left[ 16mm'm''^2\frac{1}{\left( m'+m''\right)^2}\frac{1}{\left( m+m''\right)^2}\right] \Rightarrow$$ $$0=\left(m''+m'\right)^2 \left(m+m''\right)^2-m''\left[ \left(m''+m'\right) \left(m+m''\right)^2+\left(m''+m'\right)^2 \left(m+m''\right)\right]\Rightarrow$$ $$\left(m''+m'\right) \left(m+m''\right)=m''\left[ \left(m+m''\right)+\left(m''+m'\right)\right]\Rightarrow$$ $$m''m+m''^2+mm'+m'm''=mm''+m'm''+2m''^2\Rightarrow$$ $$m''^2=mm'\Rightarrow$$ $$m''=\pm\sqrt{mm'}$$ Como a parte negativa não faz sentido físico então, $$m''=\sqrt{mm'}$$ d) Queremos mostrar então que a presença de uma partícula intermediaria possibilita a transferencial de mais energia no caso em que a transferencial é máxima e $m\neq m'$, ou seja, $\lambda\neq1$, sabemos que $m''=\sqrt{mm'}$, logo, podemos aplicar esse resultado na equação (6) e obter, $$f'=\frac{16m^2m'^2}{\left( m'+\sqrt{mm'}\right)^2\left( m+\sqrt{mm'}\right)^2}$$ Colocando $m$ em evidencia nos dois fatores do denominador da fração obtemos, $$f'=\frac{16m^2m'^2}{m^4\left( \frac{m'}{m}+\sqrt{\frac{m'}{m}}\right)^2\left( 1+\sqrt{\frac{m'}{m}}\right)^2}\Rightarrow$$ $$f'=\frac{16\frac{m'^2}{m^2}}{\left( \frac{m'}{m}+\sqrt{\frac{m'}{m}}\right)^2\left( 1+\sqrt{\frac{m'}{m}}\right)^2}$$ escrevendo a equação dessa forma podemos escreve-la em termos de $\lambda$, $$f'=\frac{16\lambda^2}{\left( \lambda+\sqrt{\lambda}\right)^2\left( 1+\sqrt{\lambda}\right)^2}$$ Colocando em evidencia $\sqrt{\lambda}$ do primeiro fator do denominador da fracão obtemos, $$f'=\frac{16\lambda}{\left( 1+\sqrt{\lambda}\right)^4}\ \ \ (7)$$ Dividindo a equação (7) pela equação (3) obtemos uma expressão que se for maior que 1 indica que a transferencial de energia foi maior que a do caso a), $$F=\frac{f'}{f}=4\frac{\left( 1+\lambda\right) ^2}{\left( 1+\sqrt{\lambda}\right)^4}$$ Logo se a partícula intermediaria proporciona uma transferencial de energia no caso em que $\lambda\neq1$ maior que no caso a) então $\lambda=1$ é um ponto critico de $F$, podemos perceber pelo gráfico da equação que esse é um ponto critico,

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