9.4) Considere um sistema qualquer de duas partículas, de massas $m_1$ e $m_2$ e velocidades $v_1$ e $v_2$. Sejam $T_1$ e $T_2$ as energias cinéticas das duas partículas, e $v_r$ , a velocidade relativa da partícula 2 em relação à partícula 1. (a) Mostre que os momentos das duas partículas em relação ao $CM$ são dados por: $p'_1=−\mu v_r=−p'_2 $, onde $\mu= \frac{m_1m_2}{M}$ (com $M=m_1+m_2$) chama-se a massa reduzida do sistema de duas partículas. Note que $\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$. (b) Mostre que a energia cinética total é dada por $T_1+T_2=T'_1+T'_2+\frac{1}{2}MV^2$, onde $T'_1$ e $T'_2$ são as $2$ energias cinéticas relativas ao $CM$ e $V$ é a velocidade do $CM$. (c) Mostre que a energia cinética relativa ao CM (energia cinética interna) é dada por $T'_1+T'_2=\frac{1}{2}\mu v^2_r$. Combinando os resultados de (b) e (c), vemos que a energia 2 Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-9.3 Universidade Federal do Amazonas cinética total é a soma da energia cinética associada ao movimento do CM, com massa igual à massa total, mais a energia cinética do movimento relativo, equivalente à de uma partícula de massa igual a massa reduzida e velocidade igual à velocidade relativa. Mostre que, para um sistema isolado de duas partículas, a energia cinética interna se conserva numa colisão elástica entre elas. Mostre que o fator Q de uma colisão inelástica (Seç. 9.7) é igual a variação da energia cinética interna.
a) Podemos considerar o momento de cada partícula de massa $m_1$ e $m_2$ individualmente e depois compará-la. Para evidenciar o panorama do problema em um dado referencial as partículas se movem com velocidade $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ em tal referencial existe um ponto que se move com velocidade $\vec{V}$ que é o centro de massa das duas partículas, tais elementos são projetados do ideal para o plano a baixo representado,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{v}_1=\vec{v'}_1+\vec{V}\\
\vec{v}_2=\vec{v'}_2+\vec{V}\\
\end{array}\right. $$
Por outro lado se considerarmos que as velocidades das duas partículas são obtidas por traslações uniformes então o centro de massa das partículas também está se movendo uniformemente, tornando-o um referencial inercial, o qual podemos considerar, nesse referencial, que denominaremos aqui referencial com linha, as partículas tem velocidades diferentes, $\vec{v'}_1$ e $\vec{v'}_2$, em relação a esse centro de massa, agora referenciado como origem de nosso novo sistema com linha,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{v'}_1=\vec{v}_1-\vec{V}\\
\vec{v'}_2=\vec{v}_2-\vec{V}\\
\end{array}\right. $$
A velocidade $\vec{V}$ é por definição o momento total $\vec{P}$ dividido pela massa total $M$ do sistema,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{v'}_1=\vec{v}_1-\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}\\
\vec{v'}_2=\vec{v}_2-\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}\\
\end{array}\right. $$
reescrevendo a expressão obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{v'}_1=-\frac{m_2}{m_1+m_2}\left(\vec{v}_2-\vec{v}_1\right) \\
\vec{v'}_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}\left(\vec{v}_2-\vec{v}_1\right) \\
\end{array}\right. $$
Multiplicando a primeira equação por $m_1$ e a segunda por $m_2$ obtemos os momentos de cada partícula,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{p'}_1=-\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\left(\vec{v}_2-\vec{v}_1\right) \\
\vec{p'}_2=\frac{m_2m_1}{m_1+m_2}\left(\vec{v}_2-\vec{v}_1\right) \\
\end{array}\right. $$
Como foi definido no enunciado do problema simbolizamos as as quantidade de massa e velocidade relativa da partícula 2 em relação a partícula 1,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{p'}_1=-\mu\vec{v}_r \\
\vec{p'}_2=\mu\vec{v}_r \\
\end{array}\right. $$
Ou seja,
$$\vec{p'}_1=-\mu\vec{v}_r=-\vec{p'}_2$$
Isso implica que em relação ao centro de massa as partículas tem uma velocidade relativa de mesmo sentido porém intensidade opostas,
b) Devemos agora mostrar que a quantidade $T'_1+T'_2+\frac{1}{2}MV^2$ se resume no momento total das partículas em relação ao referencial sem linha das mesmas, isto é, $T'_1+T'_2+\frac{1}{2}MV^2=T_1+T_2$, dessa forma começamos a escrever,
$$T'_1+T'_2+\frac{1}{2}MV^2\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}m_1|\vec{v'}_1|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{v'}_2|^2+\frac{1}{2}MV^2$$
As velocidades no referencial com linha pode ser escrito da seguinte forma,
$$\frac{1}{2}m_1|\vec{v}_1-\vec{V}|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{v}_2-\vec{V}|^2+\frac{1}{2}MV^2$$
O modulo quadrado de um vetor pode ser representado como o produto interno com ele próprio,
$$\frac{1}{2}m_1\left( \vec{v}_1-\vec{V}\right)\cdot\left( \vec{v}_1-\vec{V}\right) +\frac{1}{2}m_2\left( \vec{v}_2-\vec{V}\right)\cdot\left( \vec{v}_2-\vec{V}\right) +\frac{1}{2}MV^2 $$
Por distributividade em relação ao produto interno dado teremos,
$$\frac{1}{2}m_1\vec{v}_1\cdot\vec{v}_1-m_1\vec{v}_1\cdot\vec{V}+\frac{1}{2}m_1\vec{V}\cdot\vec{V}+\frac{1}{2}m_2\vec{v}_2\cdot\vec{v}_2-m_2\vec{V}\cdot\vec{v}_2+\frac{1}{2}m_2\vec{V}\cdot\vec{V} +\frac{1}{2}MV^2 $$
Lembrando que as expressões similares a $\vec{v}\cdot\vec{v}=v^2$ e colocando $\vec{V}$ em evidencia nos que restarem obtemos,
$$\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2-\left(m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2\right)\cdot\vec{V}+\frac{1}{2}\left(m_2+m_1\right) V^2 +\frac{1}{2}MV^2 $$
Na terceira parcela podemos identificar que $m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=\vec{p}$ e na quarta parcela podemos escrever a soma $m_1+m_2=M$,
$$\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2-\vec{p}\cdot\vec{V}+MV^2$$
Podemos lembrar que $V=\frac{P}{M}$ tanto escalar quanto vetorial,
$$\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2-\frac{\vec{p}\cdot\vec{p}}{M}+\frac{p^2}{M}$$
ou seja,
$$\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2-\frac{p^2}{M}+\frac{p^2}{M}\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\Rightarrow$$
$$T_1+T_2$$
Logo,
$$T'_1+T'_2+\frac{1}{2}MV^2=T_1+T_2$$
Que é um resultado interessante pois evidencia que a energia que aparentemente desaparece de um referencial sem linha para o com linha, acontece por que consideramos o novo referencial com linha em repouso, ignorando assim a energia cinética do próprio sistema com linha.
c) Queremos mostrar agora que $T'_1+T'_2=\frac{1}{2}\mu\vec{v}_r$, dessa forma iniciamos nossa argumentação escrevendo
$$T'_1+T'_2=\frac{1}{2}m_1|\vec{v'}_1|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{v'}_2|^2$$
Podemos reescrever $\vec{v'}=\vec{v}-V$ obtemos,
$$T'_1+T'_2=\frac{1}{2}m_1|\vec{v}_1-\vec{V}|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{v}_2-\vec{V}|^2$$
Reescrevendo o modulo quadrático dos vetores por suas expressões equivalestes em termos de produto interno obtemos,
$$T'_1+T'_2=\frac{1}{2}m_1\left[\vec{v}_1\cdot\vec{v}_1-2\vec{v}_1\cdot\vec{V}+\vec{V}\cdot\vec{V}\right] +\frac{1}{2}m_2\left[\vec{v}_2\cdot\vec{v}_2-2\vec{v}_2\cdot\vec{V}+\vec{V}\cdot\vec{V}\right] \Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{1}{2}m_1\left[v_1^2-2\vec{v}_1\cdot\vec{V}+V^2\right] +\frac{1}{2}m_2\left[v_2^2-2\vec{v}_2\cdot\vec{V}+V^2\right] \Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\left[\frac{1}{2}m_1v_1^2-m_1\vec{v}_1\cdot\vec{V}+\frac{1}{2}m_1V^2\right] +\left[\frac{1}{2}m_2v_2^2-m_2\vec{v}_2\cdot\vec{V}+\frac{1}{2}m_2V^2\right] \Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2-\left( m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2\right) \cdot\vec{V}+\frac{1}{2}\left( m_1+m_2\right) V^2\Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2-\frac{\vec{p}\cdot\vec{p}}{M}+\frac{1}{2M}p^2\Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2-\frac{p^2}{M}+\frac{1}{2M}p^2\Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2-\frac{1}{2M}p^2\Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{m_1Mv_1^2+m_2Mv_2^2-p^2}{2M}\Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{m_1\left(m_1+m_2\right)v_1^2+m_2\left(m_1+m_2\right)v_2^2-\left(m_1v_1+m_2v_2\right) ^2}{2M}\Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{m_1m_2v_1^2-2m_1m_2v_2^2v_1^2+m_1m_2v_2^2}{2M}\Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{m_1m_2}{2\left(m_1+m_2\right)}\left( v_1^2-2v_2^2v_1^2+v_2^2\right)\Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{\left(m_1+m_2\right)}\left( v_1-v_2\right)^2\Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{1}{2}\mu\left(-v_r\right)^2\Rightarrow$$
$$T'_1+T'_2=\frac{1}{2}\mu v_r^2$$
Podemos ainda mostrar que a energia interna em uma colisão elástica é conservadão, em tal colisão $\vec{p}_i=\vec{p}_f$, logo,
$$m_1\vec{v}_{1i}+m_2\vec{v}_{2i}=m_1\vec{v}_{1f}+m_2\vec{v}_{2f}$$
Podemos substituir a expressão $\vec{v}=\vec{v}'-\vec{V}$
$$m_1\left( \vec{v'}_{1i}-\vec{V}\right) +m_2\left( \vec{v'}_{2i}-\vec{V}\right)=m_1\left( \vec{v'}_{1f}-\vec{V}\right)+m_2\left( \vec{v'}_{2f}-\vec{V}\right)\Rightarrow$$
$$m_1\vec{v'}_{1i}+m_2\vec{v'}_{2i}=m_1\vec{v'}_{1f}+m_2\vec{v'}_{2f}\Rightarrow$$
$$\vec{p}'_i=\vec{p}'_f$$
De forma análoga podemos mostrar que em uma colisão inelástica entre duas partículas em um movimento arbitrário existe um fator de $\vec{Q}$ que representa o momento que foi perdido ou ganhado na colisão, ou seja,
$$\vec{p}_i=\vec{p}_f+\vec{Q}\Rightarrow$$
$$m_1\vec{v}_{1i}+m_2\vec{v}_{2i}=m_1\vec{v}_{1f}+m_2\vec{v}_{2f}+\vec{Q}\Rightarrow$$
$$\vec{Q}=-\left( m_1\vec{v}_{1f}+m_2\vec{v}_{2f}-m_1\vec{v}_{1i}-m_2\vec{v}_{2i}\right) \Rightarrow$$
$$\vec{Q}=-\left[ m_1\left( \vec{v'}_{1f}-\vec{V}\right)+m_2\left( \vec{v'}_{2f}-\vec{V}\right)-m_1\left( \vec{v'}_{1i}-\vec{V}\right)-m_2\left( \vec{v'}_{2i}-\vec{V}\right)\right] \Rightarrow$$
$$\vec{Q}=-\left[ m_1\vec{v'}_{1f}+m_2\vec{v'}_{2f}-m_1 \vec{v'}_{1i}-m_2\vec{v'}_{2i}\right] \Rightarrow$$
$$\vec{Q}=-\vec{p'}_f+\vec{p'}_i\Rightarrow$$
$$\vec{Q}=-\Delta\vec{p'}$$
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