9.4) Considere um sistema qualquer de duas partículas, de massas m1 e m2 e velocidades v1 e v2. Sejam T1 e T2 as energias cinéticas das duas partículas, e vr , a velocidade relativa da partícula 2 em relação à partícula 1. (a) Mostre que os momentos das duas partículas em relação ao CM são dados por: p′1=−μvr=−p′2, onde μ=m1m2M (com M=m1+m2) chama-se a massa reduzida do sistema de duas partículas. Note que 1μ=1m1+1m2. (b) Mostre que a energia cinética total é dada por T1+T2=T′1+T′2+12MV2, onde T′1 e T′2 são as 2 energias cinéticas relativas ao CM e V é a velocidade do CM. (c) Mostre que a energia cinética relativa ao CM (energia cinética interna) é dada por T′1+T′2=12μv2r. Combinando os resultados de (b) e (c), vemos que a energia 2 Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-9.3 Universidade Federal do Amazonas cinética total é a soma da energia cinética associada ao movimento do CM, com massa igual à massa total, mais a energia cinética do movimento relativo, equivalente à de uma partícula de massa igual a massa reduzida e velocidade igual à velocidade relativa. Mostre que, para um sistema isolado de duas partículas, a energia cinética interna se conserva numa colisão elástica entre elas. Mostre que o fator Q de uma colisão inelástica (Seç. 9.7) é igual a variação da energia cinética interna.
a) Podemos considerar o momento de cada partícula de massa
m1 e
m2 individualmente e depois compará-la. Para evidenciar o panorama do problema em um dado referencial as partículas se movem com velocidade
→v1 e
→v2 em tal referencial existe um ponto que se move com velocidade
→V que é o centro de massa das duas partículas, tais elementos são projetados do ideal para o plano a baixo representado,
{→v1=→v′1+→V→v2=→v′2+→V
Por outro lado se considerarmos que as velocidades das duas partículas são obtidas por traslações uniformes então o centro de massa das partículas também está se movendo uniformemente, tornando-o um referencial inercial, o qual podemos considerar, nesse referencial, que denominaremos aqui referencial com linha, as partículas tem velocidades diferentes,
→v′1 e
→v′2, em relação a esse centro de massa, agora referenciado como origem de nosso novo sistema com linha,
{→v′1=→v1−→V→v′2=→v2−→V
A velocidade
→V é por definição o momento total
→P dividido pela massa total
M do sistema,
{→v′1=→v1−m1→v1+m2→v2m1+m2→v′2=→v2−m1→v1+m2→v2m1+m2
reescrevendo a expressão obtemos,
{→v′1=−m2m1+m2(→v2−→v1)→v′2=m1m1+m2(→v2−→v1)
Multiplicando a primeira equação por
m1 e a segunda por
m2 obtemos os momentos de cada partícula,
{→p′1=−m1m2m1+m2(→v2−→v1)→p′2=m2m1m1+m2(→v2−→v1)
Como foi definido no enunciado do problema simbolizamos as as quantidade de massa e velocidade relativa da partícula 2 em relação a partícula 1,
{→p′1=−μ→vr→p′2=μ→vr
Ou seja,
→p′1=−μ→vr=−→p′2
Isso implica que em relação ao centro de massa as partículas tem uma velocidade relativa de mesmo sentido porém intensidade opostas,
b) Devemos agora mostrar que a quantidade
T′1+T′2+12MV2 se resume no momento total das partículas em relação ao referencial sem linha das mesmas, isto é,
T′1+T′2+12MV2=T1+T2, dessa forma começamos a escrever,
T′1+T′2+12MV2⇒
12m1|→v′1|2+12m2|→v′2|2+12MV2
As velocidades no referencial com linha pode ser escrito da seguinte forma,
12m1|→v1−→V|2+12m2|→v2−→V|2+12MV2
O modulo quadrado de um vetor pode ser representado como o produto interno com ele próprio,
12m1(→v1−→V)⋅(→v1−→V)+12m2(→v2−→V)⋅(→v2−→V)+12MV2
Por distributividade em relação ao produto interno dado teremos,
12m1→v1⋅→v1−m1→v1⋅→V+12m1→V⋅→V+12m2→v2⋅→v2−m2→V⋅→v2+12m2→V⋅→V+12MV2
Lembrando que as expressões similares a
→v⋅→v=v2 e colocando
→V em evidencia nos que restarem obtemos,
12m1v21+12m2v22−(m1→v1+m2→v2)⋅→V+12(m2+m1)V2+12MV2
Na terceira parcela podemos identificar que
m1→v1+m2→v2=→p e na quarta parcela podemos escrever a soma
m1+m2=M,
12m1v21+12m2v22−→p⋅→V+MV2
Podemos lembrar que
V=PM tanto escalar quanto vetorial,
12m1v21+12m2v22−→p⋅→pM+p2M
ou seja,
12m1v21+12m2v22−p2M+p2M⇒
12m1v21+12m2v22⇒
T1+T2
Logo,
T′1+T′2+12MV2=T1+T2
Que é um resultado interessante pois evidencia que a energia que aparentemente desaparece de um referencial sem linha para o com linha, acontece por que consideramos o novo referencial com linha em repouso, ignorando assim a energia cinética do próprio sistema com linha.
c) Queremos mostrar agora que
T′1+T′2=12μ→vr, dessa forma iniciamos nossa argumentação escrevendo
T′1+T′2=12m1|→v′1|2+12m2|→v′2|2
Podemos reescrever
→v′=→v−V obtemos,
T′1+T′2=12m1|→v1−→V|2+12m2|→v2−→V|2
Reescrevendo o modulo quadrático dos vetores por suas expressões equivalestes em termos de produto interno obtemos,
T′1+T′2=12m1[→v1⋅→v1−2→v1⋅→V+→V⋅→V]+12m2[→v2⋅→v2−2→v2⋅→V+→V⋅→V]⇒
T′1+T′2=12m1[v21−2→v1⋅→V+V2]+12m2[v22−2→v2⋅→V+V2]⇒
T′1+T′2=[12m1v21−m1→v1⋅→V+12m1V2]+[12m2v22−m2→v2⋅→V+12m2V2]⇒
T′1+T′2=12m1v21+12m2v22−(m1→v1+m2→v2)⋅→V+12(m1+m2)V2⇒
T′1+T′2=12m1v21+12m2v22−→p⋅→pM+12Mp2⇒
T′1+T′2=12m1v21+12m2v22−p2M+12Mp2⇒
T′1+T′2=12m1v21+12m2v22−12Mp2⇒
T′1+T′2=m1Mv21+m2Mv22−p22M⇒
T′1+T′2=m1(m1+m2)v21+m2(m1+m2)v22−(m1v1+m2v2)22M⇒
T′1+T′2=m1m2v21−2m1m2v22v21+m1m2v222M⇒
T′1+T′2=m1m22(m1+m2)(v21−2v22v21+v22)⇒
T′1+T′2=12m1m2(m1+m2)(v1−v2)2⇒
T′1+T′2=12μ(−vr)2⇒
T′1+T′2=12μv2r
Podemos ainda mostrar que a energia interna em uma colisão elástica é conservadão, em tal colisão
→pi=→pf, logo,
m1→v1i+m2→v2i=m1→v1f+m2→v2f
Podemos substituir a expressão
→v=→v′−→V
m1(→v′1i−→V)+m2(→v′2i−→V)=m1(→v′1f−→V)+m2(→v′2f−→V)⇒
m1→v′1i+m2→v′2i=m1→v′1f+m2→v′2f⇒
→p′i=→p′f
De forma análoga podemos mostrar que em uma colisão inelástica entre duas partículas em um movimento arbitrário existe um fator de
→Q que representa o momento que foi perdido ou ganhado na colisão, ou seja,
→pi=→pf+→Q⇒
m1→v1i+m2→v2i=m1→v1f+m2→v2f+→Q⇒
→Q=−(m1→v1f+m2→v2f−m1→v1i−m2→v2i)⇒
→Q=−[m1(→v′1f−→V)+m2(→v′2f−→V)−m1(→v′1i−→V)−m2(→v′2i−→V)]⇒
→Q=−[m1→v′1f+m2→v′2f−m1→v′1i−m2→v′2i]⇒
→Q=−→p′f+→p′i⇒
→Q=−Δ→p′
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