9.3) Considere a colisão elástica entre duas partículas de massas $m_1$ e $m_2$ que se movem em uma dimensão. (a) Verifique, a partir das (9.4.11), que a velocidade do $CM$ se conserva na colisão. (b) Calcule as velocidades iniciais $v_{1i}$ e $v′_{2i}$ das duas partículas em relação ao $CM$ do sistema, exprimindo-as em função da velocidade relativa inicial $v_{ri}$ da partícula 2 em relação à partícula 1 e da massa total $M=m_1+m_2$ . Qual é a relação entre $v′_{ri}$ e $v_{ri}$ ? (c) Faça o mesmo para as velocidades finais $v′_{1f}$ e $v′_{2f}$ em relação ao CM, com auxilio das (9.4.11). Qual é a relação entre $v′_{rf}$ e $v_{rf}$ (a velocidade relativa final)? E entre $v′_{rf}$ e $v′_{ri}$ ? (d) Interprete os resultados de (a) a (c), descrevendo como ocorre a colisão vista do referencial do $CM$.
a) Como o centro de massa está se movendo em relação a um referencial parado em segundo $m_1$ e $m_2$, o centro de massa tem uma velocidade $V_i$, logo, dizer que o centro de massa é conservado após a colisão entre as duas partículas é dizer que depois da colisão o centro de massa tem uma velocidade $V_f$ tal que $v_i=V_f$. O livro nos da uma demostração na sessão 9.5 de que as velocidades finais, $v_{f1}$ e $v_{f2}$, de duas, $m_1$ e $m_2$, partículas que colidem frontalmente em uma dimensão podem ser escritas de forma geral em função das velocidades iniciais, $v_{i1}$ e $v_{i1}$,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_{f_1}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{i1}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{i2}\ \ \ (1)\\
v_{f_2}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{i1}-\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{i2}\ \ \ (2)\\
\end{array}\right. $$
Como é uma colisão elástica estamos supondo que o momento foi conservado no processo, isso é, $P_i=P_f$, então intuitivamente devemos multiplicar as expressões das velocidades finais pelas suas respectivas massa de forma que encontramos agora as expressões do momento final de cada partícula,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
m_1v_{f_1}=m_1\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{i1}+m_1\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{i2}\\
m_2v_{f_2}=m_2\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{i1}-m_2\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{i2}\\
\end{array}\right. $$
Somando as duas equações obtemos o momento total final $P_f=P_{1f}+P_{2f}=m_1v_{f1}+m_2v_{f2}$, logo,
$$m_2v_{f_2}+m_2v_{f_2}=m_1\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{i1}+m_1\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{i2}+m_2\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{i1}-m_2\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{i2}$$
Reorganizando a equação obtemos,
$$m_2v_{f_2}+m_2v_{f_2}=\frac{m^2_1v_{i1}-m_1m_2v_{i1}+2m_2m_1v_{i2}+2m_2m_1v_{i1}-m_2m_1v_{i2}+m^2_2v_{i2}}{m_1+m_2}\Rightarrow$$
$$m_2v_{f_2}+m_2v_{f_2}=\frac{\left( m_1+m_2\right)m_1v_{i1} +\left( m_1+m_2\right)m_2v_{i2} }{m_1+m_2}\Rightarrow$$
$$\frac{m_2v_{f_2}+m_2v_{f_2}}{m_1+m_2}=\frac{\left( m_1+m_2\right)m_1v_{i1} +\left( m_1+m_2\right)m_2v_{i2} }{\left( m_1+m_2\right)^2 }\Rightarrow$$
$$V_f=\frac{m_2v_{f_2}+m_2v_{f_2}}{m_1+m_2}=\frac{m_1v_{i1} +m_2v_{i2} }{ m_1+m_2 }=V_i$$
Note que as expressões do lado esquerdo e direito nada mais são do que as velocidades do centro de massa $V_f$ e $V_i$ respectivamente, logo,
$$V_f=V_i$$
Como queríamos demostrar.
b) Queremos agora descobrir qual é a velocidade inicial, $v'_i1$ e $v'_i2$ , das partículas $m_1$ e $m_2$ se colocarmos o referencial se movendo sobre o centro de massa $CM$ das duas partículas,
Olhando para as partículas no referencial linha do centro de massa é isso o que vemos,
Podemos descobrir essa velocidade usando a transformação de Galileu, a velocidade no referencial sem linha é igual a sola da velocidade do referencial com linha com a partícula no referencial com linha, ou seja,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_{i1}=v'_{i1}+V_i\\
v_{i2}=v'_{i2}+V_i\\
\end{array}\right. $$
Logo a velocidade no referencial com linha será dada por,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{i1}=v_{i1}-V_i\ \ \ (3)\\
v'_{i2}=v_{i2}-V_i\ \ \ (4)\\
\end{array}\right. $$
Vamos abrir a expressão evidenciando as partes de $V_i$,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{i1}=v_{i1}-\frac{m_1v_{i1}+m_2v_{i2}}{m_1+m_2}\\
v'_{i2}=v_{i2}-\frac{m_1v_{i1}+m_2v_{i2}}{m_1+m_2}\\
\end{array}\right. $$
Reorganizando a expressão teremos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{i1}=\frac{m_1v_{i1}+m_2v_{i1}-m_1v_{i1}-m_2v_{i2}}{m_1+m_2}\\
v'_{i2}=\frac{m_1v_{i2}+m_2v_{i2}-m_1v_{i1}-m_2v_{i2}}{m_1+m_2}\\
\end{array}\right. \Rightarrow$$
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{i1}=-\frac{m_2}{m_1+m_2}\left( v_{i2}-v_{i1}\right) \\
v'_{i2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}\left( v_{i2}-v_{i1}\right) \\
\end{array}\right. $$
Note que a velocidade relativa $v_{ri}$ da partícula 2 em relação a partícula 1 é $v_{ri}=v_{i2}-v_{i1}$, assim como podemos escrever a massa total do sistema com $M=m_1+m_2$,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{i1}=-\frac{m_2}{M}v_{ri}\\
v'_{i2}=\frac{m_1}{M}v_{ri}\\
\end{array}\right. $$
Podemos por fim relacionar as velocidades relativas da partícula 2 em relação a partícula 1 no referencial sem linha $v_{ri}$ e com a partícula no referencial com linha $v'_{ri}$ lembrando que $v_{ri}=v_{i2}-v_{i1}$ e que a mesma relação de velocidade relativa da partícula 2 em relação a 1 vale para o referencial com linha,
$$v'_{ri}=v'_{i2}-v'_{i1}$$
Usando as equações (3) e (4) obtemos,
$$v'_{ri}=\left( v_{i2}-V_i\right) -\left( v_{i1}-V_i\right) $$
Isto é,
$$v'_{ri}=v_{i2}-v_{i1}$$
Que nada mais é que,
$$v'_{ri}=v_{ri}$$
c) Da mesma forma que na letra b) encontramos as velocidades iniciais de $m_1$ e $m_2$ antes da colisão no referencial do centro de massa, referencial com linha, podemos fazer a mesma coisa para as velocidade $v_{f1}$ e $v_{f2}$ usando como auxilio as equações (1) e (2), mas primeiro,
Ou olhando da perspectiva do centro de massa,
Note que nessa nova situação as velocidades foram invertidas de sentido, usando novamente a transformação de galileu obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_{f1}=v'_{f1}+V_f\\
v_{f2}=v'_{f2}+V_f\\
\end{array}\right. $$
Lembrando que $V_i=V_f$ obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{f1}=v_{f1}-V_i\ \ \ (5)\\
v'_{f2}=v_{f2}-V_i\ \ \ (6)\\
\end{array}\right. $$
Abrindo a expressão de $V_i$, $v_{f1}$ e $v_{f2}$ obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{f1}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{i1}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{i2}-\frac{m_1v_{i1}+m_2v_{i2}}{m_1+m_2}\\
v'_{f2}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{i1}-\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{i2}-\frac{m_1v_{i1}+m_2v_{i2}}{m_1+m_2}\\
\end{array}\right. $$
Reorganizando os termos de modo a formar apenas uma parcela,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{f1}=\frac{m_2}{m_1+m_2}\left(v_{i2}-v_{i1}\right) \\
v'_{f2}=-\frac{m_1}{m_1+m_2}\left(v_{i2}-v_{i1}\right) \\
\end{array}\right. $$
Usando novamente a redução $v_{ri}$ e $M$
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v'_{f1}=\frac{m_2}{M}v_{ri}=-v'_{i1}\\
v'_{f2}=-\frac{m_1}{M}v_{ri}=-v'_{i2}\\
\end{array}\right. $$
Usando a relação,
$$v'_{rf}=v'_{f2}-v'_{f1}$$
Podemos obter outra relação interessante, usando as equações (5) e (6) obtemos
$$v'_{rf}=\left( v_{f2}-V_i\right) -\left( v_{f1}-V_i\right) \Rightarrow$$
$$v'_{rf}=v_{f2}-v_{f1}\Rightarrow$$
$$v'_{rf}=v_{rf}$$
Porém olhando do referencial com linha, referencial do centro de massa, sabermos que as velocidades se invertem, ou seja $v'_{ri}=-v'_{rf}$, logo,
$$v'_{rf}=-v'_{ri}$$
d) Olhando do referencial com linha, ou seja, do referencial do centro de massa, veríamos as partículas se aproximar da origem com velocidade inicial igual e sentido oposto, assim como veríamos elas se afastar com velocidade final igual e sentido oposto.
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