9.2) Na teoria corpuscular da luz, no século 17, imaginava-se um feixe de luz como constituído de corpúsculos muito pequenos, movendo-se com velocidade muito elevada. A reflexão da luz num espelho seria produzida pela colisão dos corpúsculos luminosos com o mesmo, de forma análoga a uma colisão elástica com uma parede impenetrável. Ao atravessar a superfície de separação entre dois meios transparentes distintos (ar e água, por exemplo). um corpúsculo luminoso teria sua velocidade alterada pelo efeito de uma força impulsiva normal à superfície de separação, prosseguindo depois em seu movimento, livre da ação de forças. Sejam $\theta_1$ , $\theta_1'$ e $\theta_2$ os ângulos de incidência, reflexão, e refração respectivamente. Mostre que este modelo explicaria as leis da reflexão e da refração: raios refletido e refratado no plano de incidência, com $\theta_1'=\theta_1$ , $\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} =n_{12}$ , e calcule o índice de refração relativo $n_{12}$ do segundo meio em relação ao primeiro em função das velocidades $v_1$ e $v_2$ dos corpúsculos nos meios 1 e 2. A velocidade dos corpúsculos seria maior no ar ou na água?
Quanto a questão de provar a propriedade de reflexão, podemos tocar a aproximação descrita no problema e considerar que a luz é feita de pequenos corpúsculos que colidem de forma elástica com o solo,
O momento inicial de um corpúsculo que se aproxima com velocidade $v_1$ do solo com ângulo de incidência $\theta_1$ é dado por,
$$\vec{P}_i=mv_1\left( \sin\theta_1\hat{i} +\cos\theta_1\hat{j}\right) $$
Por outro lado após a colisão ele terá um momento dado por,
$$\vec{P}_f=mv_2\left( \sin\theta_1'\hat{i} +\cos\theta_1'\hat{j}\right) $$
Supondo que o momento foi conservado teremos que,
$$mv_1\left( \sin\theta_1\hat{i} +\cos\theta_1\hat{j}\right)=mv_2\left( \sin\theta_1'\hat{i} +\cos\theta_1'\hat{j}\right)$$
Dessa equação vetorial encontramos as seguintes equações,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_1\cos\theta_1=v_2\cos\theta_1'\\
v_1\sin\theta_1=v_2\sin\theta_1'\\
\end{array}\right. $$
isto é,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\frac{v_1}{v_2}=\frac{\cos\theta_1'}{\cos\theta_1}\\
\frac{v_1}{v_2}=\frac{\sin\theta_1'}{\sin\theta_1}\\
\end{array}\right. $$
Porém como a massa é constante, e por hipótese trata-se de uma colisão elástica, para que o momento seja conservado temos que considerar que $v_1=v_2$, logo,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\frac{\cos\theta_1'}{\cos\theta_1}=1\\
\frac{\sin\theta_1'}{\sin\theta_1}=1\\
\end{array}\right. $$
Essas relações valem para todo $\theta_1$ e $\theta_1'$ logo,
$$\theta_1=\theta_1'$$
Considerando agora que o corpúsculo incide com uma velocidade $v_1$ e ângulo $\theta_1$ e devido a um Impulso $\frac{I}=I\hat{j}$ o corpúsculo desvia sua trajetória para um ângulo $\theta_2$ provocando uma variação de momento $\Delta \vec{P}$ dessa forma teremos que,
$$I\hat{j}=\Delta \vec{P}$$
A variação de momento linear é dada por,
$$I\hat{j}=mv_2\left(\sin\theta_1\hat{i}+\cos\theta_1\hat{j}\right) -mv_1 \left(\sin\theta_2\hat{i}+\cos\theta_2\hat{j}\right) $$
Dessa equação vetorial obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
I=mv_2\cos\theta_1-mv_1\cos\theta_2\\
0=mv_2\sin\theta_1-mv_1\sin\theta_2\\
\end{array}\right. $$
A da segunda equação obtemos,
$$0=mv_2\sin\theta_1-mv_1\sin\theta_2\Rightarrow$$
$$v_2\sin\theta_1=v_1\sin\theta_2\Rightarrow$$
$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}$$
Note que $\theta_2>\theta_1$, logo, $\sin\theta_2<\sin\theta_1$ isso significa que $v_1>v_2$.
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