Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 8.20

8.20) Uma nave espacial cilíndrica, de massa $M$ e comprimento $L$, está flutuando no espaço sideral. Seu centro de massa, que podemos tomar como o seu ponto médio, é adotado como origem O das coordenadas, com $Ox$ ao longo do eixo do cilindro. (a) No instante $t=0$, um astronauta dispara uma bala de revólver de massa m e velocidade v ao longo do eixo, da parede esquerda até a parede direita, onde fica encravada. Calcule a velocidade V de recuo da nave espacial. Suponha que $m>>M$, de modo que $M\pm m\approx M$. (b) Calcule o recuo total $\Delta X$ da nave, depois que a bala atingiu a parede direita. Exprima-o em função do momento p transportado pela bala, eliminando da expressão a massa m. (c) Calcule o deslocamento $\Delta x$ do centro de massa do sistema devido à transferência da massa m da extremidade esquerda para a extremidade direita da nave. (d) Mostre que $\Delta x + \Delta X=0$, e explique porque este resultado tinha necessariamente de ser válido. (e) Suponha agora que o astronauta, em lugar de um revólver, dispara um canhão de luz laser. O pulso de radiação laser, de energia E, é absorvido na parede direita, convertendo-se em outras formas de energia (térmica, por exemplo). Sabe-se que a radiação eletromagnética, além de transportar energia E, também transporta momento p, relacionado com E por: $p=E/c,$ onde $c$ é a velocidade da luz. Exprima a resposta do item (b) em termos de $E$ e $c$, em lugar de $p$. (f) Utilizando os itens (c) e (d), conclua que a qualquer forma de energia E deve estar associada uma massa inercial m, relacionada com E por $E=mc^2$. Um argumento essencialmente idêntico a este, para ilustrar a inércia da energia, foi formulado por Einstein (veja Física Básica, vol. 4). 

 a) Sabemos que a força de empuxo $F_e$ da bala de massa $m$ e velocidade de ejeção $v$ é dado por, $$F_e=M\frac{dV}{dt}=\frac{dm}{dt}v$$ Logo, $$-MV=mv\Rightarrow$$ $$V=-\frac{m}{M}v\ \ \ (1)$$ b) Supondo que a bala levou um intervalo de tempo $t$ para percorrer a distância $l$, usando a equação (1) e multiplicando por $t$ encontramos $\Delta X$, $$\Delta X=Vt=-\frac{m}{M}vt$$ A distância $l$ pode ser escrita como $vt=l$, logo, $t=\frac{l}{v}$, $$\Delta X=-\frac{mvl}{Mv}\Rightarrow$$ $$\Delta X=-\frac{Pl}{Mv}\ \ \ (2)$$ c) O momento inicial do sistema após a bala ser disparada é, $$P_i=-MV+m\left( v-V\right)\Rightarrow$$ $$P_i=-\left( M+m\right) V+mv\Rightarrow$$ $$P_i=-MV+mv$$ No segundo momento o sistema está novamente em repouso, pois não há força externa no sistema sendo que o momento ganho no disparo é perdido no impacto, logo por conservação de momento, $$0=-MV+mv\Rightarrow$$ $$V=\frac{m}{M}v$$ Dessa forma o recuo do centro de massa é, $$\Delta x=Vt=\frac{m}{M}vt\Rightarrow$$ $$\Delta x=\frac{ml}{M}\ \ \ (3)$$ d) De fato, $$\Delta X+\Delta x=0\Rightarrow$$ $$-\frac{Pl}{Mv}+\frac{ml}{M}=0\Rightarrow$$ $$-\frac{mvl}{Mv}+\frac{ml}{M}=0\Rightarrow$$ $$-\frac{ml}{M}+\frac{ml}{M}=0\Rightarrow$$ $$0=0$$ Como o sistema é fechado o momento ganho no disparo é perdido no impacto da bala com a nave, e) Olhando a equação (2) podemos substituir o momento e a velocidade da bala pela da luz, $$\Delta X=-\frac{El}{Mc^2}\ \ \ (4)$$ f) Usando a equação (4) e a questão d), obtemos, $$\Delta X +\Delta x=0\Rightarrow$$ $$-\frac{Pl}{Mv} +\frac{ml}{M}=0\Rightarrow$$ $$-\frac{El}{Mc^2} +\frac{ml}{M}=0\Rightarrow$$ $$\frac{E}{c^2}=m\Rightarrow$$ $$E=mc^2$$