6.7) Uma bateria de fem $\varepsilon$ e resistência interna $r$ fornece corrente a um aparelho de resistência $R$. (a) Para que valor de $R$ a potência fornecida é máxima? (b) Para esse valor de $R$, qual é a relação entre o potencial fornecido e aquele dissipado na própria bateria?
(a) Notamos primeiro que o potencial ao longo do caminho fechado é nulo e dado por
$$\varepsilon-ir-iR=0$$
Explicitando $i$ obtemos
$$i=\frac{\varepsilon}{(r+R)}\ \ \ \ (1)$$
sabendo que a potência é $P=iv$ e o potencial entre as extremidades do resistor $R$ é $V=iR$ obtemos a potência dissipada pelo resistor
$$P=Ri^2\ \ \ \ (2)$$
substituindo (1) em (2) obtemos
$$P=\frac{R\varepsilon^2}{(r+R)^2}.\ \ \ \ (3)$$
Para obter o valor de $R$ que maximiza a potência $P(R)$ derivamos a expressão (3) e igualamos a zero.
$$\frac{\partial P}{\partial R}=\frac{\varepsilon^2(r+R_{max})^2-2\varepsilon^2R_{max}(r+R_{max})}{(r+R_{max})^4}=0\Rightarrow $$
$$\varepsilon^2(r+R_{max})^2=2\varepsilon^2R_{max}(r+R_{max})\Rightarrow$$
$$\varepsilon^2(r+R_{max})=2\varepsilon^2R_{max}\Rightarrow$$
$$\varepsilon^2r=(2\varepsilon^2-\varepsilon^2)R_{max}\Rightarrow$$
$$R_{max}=r$$
(b) Pelo efeito Joule temos que
$$P_b=ri^2$$
$$P_R=ri^2,$$
dessa forma a razão entre a potência da bateria $P_b$ e a dissipada pelo resistor $R$, $P_R$, é dado por
$$\frac{P_b}{P_R}=1,$$
logo as potências são iguais.
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