7.3) (a) Calcule a frequência angular de rotação de um elétron no campo magnético da terra, numa região em que ele possa ser tratado como uniforme e de intensidade $0,5Gauss$. (b) Para um elétron com energia cinética de $1KeV$, tipica daquela encontrada na aurora boreal, calcule o raio de curvatura nesse campo.
$$\begin{array}{llll}
m=9.1\times10^{-31} kg\\
e=-1.6\times10^{-19} C\\
k=1Kev=1,6\times10^{-16}J\\
B=0,5Gauss
\end{array}$$
a) Supondo que o elétron penetre no campo magnético com velocidade $\vec{v}$ perpendicular ao campo $\vec{B}$ teremos que a forma magnética que o elétron estará sujeito é dado por $$F_m=evB,$$ onde $e$ é a carga do elétron. A trajetória do elétron será circular, logo a forma magnética $F_m$ é uma força centrípeta dada por $$m\frac{v^2}{r}=evB,$$ onde $m$ é a massa do elétron, onde $r$ é o raio da trajetória circular, dessa forma obtemos $$r=\frac{mv}{eB}.\ \ \ \ (1)$$
Supondo que o campo e a velocidade do elétron é contante teremos que $r$ também será constante, logo a valosidade $v$ do elétron se relaciona com a frequência angular $\omega$ da sequente forma $$\omega=\frac{v}{r}.\ \ \ \ (2)$$ Substituindo (1) em (2) obtemos $$\omega=\frac{eB}{m}.$$ A frequência de rotação $f$ é dada por $f=\frac{\omega}{2\pi}$, logo $$f=\frac{eB}{2\pi m}.$$ Substituindo os valores do problema obtemos $$f=1,4MHz$$
b) A energia cinética associada ao movimento do elétron é $$\frac{1}{2}mv^2=k,$$ logo a velocidade do elétron é $$v=\sqrt{\frac{2k}{m}}.$$ Sabendo que o raio de rotação é dado pela expressão $(1)$ teremos que $$r=\frac{m}{eB}\sqrt{\frac{2k}{m}}.$$ Substituindo os valores convertidos em unidade (SI), obtemos $$r=2,1m$$
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