Moyses - Curso de Física Básica, Electromagnetismo , Problema Resolvido 7.1


7.1) Uma bússola tende a oscilar antes de alinhar-se com o campo magnético da terra. Considere uma agulha imantada de momento de dipolo magnético $\vec{m}$ e momento de inércia $I$, suspensa de forma a poder oscilar livremente em torno de um eixo vertical, situado em um campo magnético uniforme $\vec{B}_0$. As direções de $vec{m}$ e $\vec{B}_0$ formam inicialmente um pequeno ângulo $\theta_0$. Calcule a frequência angular de oscilação (desprezando o amortecimento) e mostre que sua determinação permite medir $|\vec{m}||\vec{B}_0|$

Note que o torque é dado pelo produto vetorial entre o momento de dipolo magnético com o campo magnético $$\vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B}_0$$ ou de forma escalar $$-\tau=mB_0\sin\theta$$ temos que $\tau=I\alpha$ logo $$I\alpha=-mB_0\sin\theta\Rightarrow$$ $$\alpha=-\frac{mB_0}{I}\sin\theta$$ para um ângulo $\theta$ muito pequeno teremos $$\alpha=-\frac{mB_0}{I}\theta\Rightarrow$$ $$\frac{d^2\theta}{dt}+\frac{mB_0}{I}\theta=0$$ podemos supor que a solução dessa equação é da forma $\theta=\sin\omega t$, logo $$\frac{d^2}{dt^2}\left[\sin\omega t\right] +\frac{mB_0}{I}\sin\omega t=0\Rightarrow$$ $$\frac{d}{dt}\left[\omega\cos\omega t\right] +\frac{mB_0}{I}\sin\omega t=0\Rightarrow$$ $$-\omega^2\sin\omega t +\frac{mB_0}{I}\sin\omega t=0\Rightarrow$$ $$-\omega^2 +\frac{mB_0}{I}=0\Rightarrow$$ $$\omega^2 =\frac{mB_0}{I}\Rightarrow$$ $$\omega=\sqrt{\frac{mB_0}{I}}$$ sendo a frequência dada por $f=\frac{1}{2\pi}\omega$ $$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{mB_0}{I}}$$

Comentários

Postagens mais visitadas