4) No espectrógrafo de massa de Bainbridge (fig.), há um campo elétrico uniforme $E$ e um campo magnético uniforme $\vec{B}$ perpendicular ao plano da figura na região entre as placas $PP$, ajustados de modo a formar um filtro de velocidades, ou seja, só deixar passar íons de velocidade $\vec{v}$ bem definida para a região semi-circular inferior, onde existe um outro campo uniforme $\vec{B}'$ também perpendicular ao plano da figura. Mostre que, para íons de carga $e$, o raio $R$ da órbita semicircular é proporcional à massa do íon, de forma que a placa fotográfica $C$ registra um espectro de massa, em que a distância ao longo da chapa é proporcional à massa do íon.
Na figura a baixo está representada a situação e todas as forças que atuam sobre a partícula
Note que na primeira região onde existe a presença de um campo elétrico $\vec{E}$ e campo magnético $\vec{B}$ a partícula esta sujeita a duas forças opostas, a força magnética $\vec{F}_m$ e a força elétrica $\vec{F}_e$. O íons tende a desviar para placa positiva devido à força elétrica se sua velocidade for muito baixa, e tende a desviar para a negativa caso sua velocidade seja muito elevada, dessa forma passarão para a segunda região apenas aquelas partículas com velocidade $\vec{v}$ que equilibre às duas forças, essa velocidade é dada por
$$\vec{F}_m=\vec{F}_e\Rightarrow$$
$$e\vec{v}\times\vec{B}=e\vec{E}\Rightarrow$$
$$evB\sin(90°)=eE\Rightarrow$$
$$v=\frac{E}{B}.\ \ \ \ \ (1)$$
Na segunda região de campo o íons estará sob o efeito de uma força magnética $\vec{F}'_{m}$ devido ao campo $\vec{B}'$ realizando assim uma trajetória circular de raio $R$, logo teremos que
$$\vec{F}_m=e\vec{v}\times\vec{B}'\Rightarrow$$
$$F_m=evB'\sin(90°)\Rightarrow$$
$$F_m=evB'.$$
Como o íons realiza uma trajetória circular a força $F_m$ é uma força centrípeta dada por
$$m_e\frac{v^2}{R}=evB'\Rightarrow$$
$$R=\frac{m_e v}{eB'}.\ \ \ \ \ (2)$$
Aplicando a equação (1) em (2) obtemos
$$R=\frac{m_eE}{eBB'}$$
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