6.6) A condutividade de um cilindro de comprimento $l$ e área de secção transversal $S$ crescente linearmente com a distância, assumindo o valor $\sigma_0$ numa extremidade e $\sigma_1$ na outra. Calcule a resistência total do cilindro
Sabemos que a resistividade cresce linearmente com a distância, logo a forma da função resistividade é
$$\sigma(x)=\sigma_0+Ax$$
note que $x=l$ implica em
$$\sigma_1=\sigma_0+Al\Rightarrow $$
$$A=\frac{\sigma_1-\sigma_0}{l}\ \ \ (1)$$
Logo a incógnita (1) nos da equação da condutividade definida
$$\sigma(x)=\sigma_0+\frac{(\sigma_1-\sigma_0)x}{l}$$
Sabendo que uma pequena porção do comprimento $dx$ da uma pequena porção $dR$ da resistência
$$dR=\frac{dx}{S}\rho\Rightarrow$$
$$dR=\frac{1}{\sigma(x)S}dx\Rightarrow $$
$$dR=\frac{1}{\sigma_0+\frac{(\sigma_1-\sigma_0)x}{l}}\frac{dx}{S} $$
devemos somar ao longo de todo o complemento do cilindro para obter a resistência $R$
$$R=\int_{0}^{l}\frac{1}{\sigma_0+\frac{(\sigma_1-\sigma_0)x}{l}}\frac{1}{S}dx $$
realizando uma substituição $u=\sigma_0+\frac{(\sigma_1-\sigma_0)x}{l}$ teremos
$$R=\frac{1}{S}\int_{\sigma_0}^{\sigma_1}\frac{1}{u}\frac{l}{\sigma_1-\sigma_0}du\Rightarrow$$
$$R=\frac{1}{S}\left[ \ln|u|\frac{l}{\sigma_1-\sigma_0}\right]_{\sigma_0}^{\sigma_1}\Rightarrow$$
$$R=\frac{l}{S(\sigma_1-\sigma_0)}\ln\frac{\sigma_1}{\sigma_0}$$
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