6.5) As placas de um capacitor plano de capacitância $C$, preenchido com um dielétrico de constante dielétrica $k$, estão ligados aos fios de uma bateria que mantêm entre eles uma diferença de potencial $V$. O dielétrico tem uma condutividade $\sigma $, o que produz uma corrente de perda. (a) Calcule a resistência $R$ do dielétrico como função de $C$. (b) Mostre que o resultado permanece valido para um capacitor cilindro ou esférico (c) Você consegue demostrar que vale em geral?
(a) Podemos calcular o campo $E_1'=E_1-E'$ em uma das placas usando a lei de gauss e uma superficial gaussiana que contem uma das placas
$$\oint k\vec{E_1'}\cdot\hat{n}dA=\frac{Q}{\epsilon_0}$$
Apenas a normais paralelas ao campo não são nulas logo
$$kE_1'\int dA+kE_1'\int dA=\frac{Q}{\epsilon_0}\Rightarrow $$
$$2kAE_1'=\frac{Q}{\epsilon_0}\Rightarrow $$
$$E_1'=\frac{Q}{2\epsilon_0Ak} $$
Por um método análogo podemos encontrar que $E_2'=E_1'$ dessa forma o campo resultante $E=E_2'+E_1'$ gerado pelas duas placas obtemos que
$$E=\frac{Q}{\epsilon_0Ak} $$
calculamos agora a diferença de potencial entre as placas
$$V=V_a-V_b=\int \vec{E}\cdot d\vec{l}\Rightarrow $$
$$V=\frac{Q}{\epsilon_0Ak}d$$
a capacitância é dada por $C=\frac{Q}{V}$ logo
$$C=\frac{Q}{\frac{Qd}{\epsilon_0Ak}}=Q\frac{\epsilon_0Ak}{Qd}=\frac{\epsilon_0k}{d}A\ \ \ (1)$$
Lembrando que $R=\frac{d}{A}\rho\Rightarrow A=\frac{d}{\sigma R}$ logo a equação (1) se torna
$$C=\frac{\epsilon_0k}{d}\frac{d}{\sigma R}\Rightarrow $$
$$C=\frac{\epsilon_0k}{\sigma R}\Rightarrow $$
$$R=\frac{\epsilon_0k}{\sigma C}$$
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