6.10) Considerando o exemplo visto na seç. 6.8 de um solução iônica de $HCI$ com um gradiente de concentração na direção $x$, em circuito aberto, em equilíbrio térmico à temperatura $T$. (a) Usando os resultados obtidos, calcule a razão $n(x_2)/n(x_1)$ das concentrações de íons nos terminais $x_1$ e $x_2$, entre os quais existe uma fem $\varepsilon $. (b) identificando o resultado como o fator de Boltzman $exp(-E/(kT))$, demostre a relação de Einstein $D_+/\mu_+=kT$. (c) Para uma razão de concentração $n(x_2)/n(x_1)=10$, à temperatura ambiente, calcule a fem resultante $\varepsilon $.
(a) temos que
$$\varepsilon=-\frac{D_+}{q\mu_+}\ln\frac{n(x_2)}{n(x_1)}\Rightarrow \ \ \ \ (1)$$
$$-\frac{q\varepsilon\mu_+}{D_+}=\ln\frac{n(x_2)}{n(x_1)} $$
Colocando ambos os membros na base $e$ obtemos
$$e^{-\frac{q\varepsilon\mu_+}{D_+}}=e^{\ln\frac{n(x_2)}{n(x_1)}}\Rightarrow $$
$$e^{-\frac{q\varepsilon\mu_+}{D_+}}=\frac{n(x_2)}{n(x_1)}$$
Note que a carga do eletron $q$ vezes o potencial da fem $\varepsilon$ resulta no trabalho ou energia $E=q\varepsilon$ logo
$$e^{-\frac{E}{\frac{D_+}{\mu_+}}}=\frac{n(x_2)}{n(x_1)}$$
comparando isso com $exp(-E/(kT))$ fica claro que
$$K_{bT}=\frac{D_+}{\mu_+}$$
dessa forma (1) pode ser escrito como
$$\varepsilon=-\frac{K_{bT}}{q}\ln\frac{n(x_2)}{n(x_1)}$$
para $n(x_2)/n(x_1)=10$ obtemos que
$$\varepsilon=-\frac{K_{bT}}{q}\ln 10$$
Comentários