Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 5.10

5.10) No sistema da figura, $m_1=1 kg$, $m_2=3kg$ e $m_3=2kg$, e as massas das polias e das cordas são desprezíveis. Calcule as acelerações $a_1$ , $a_2$ e $a_3$ das massas $m_1$ , $m_2$ e $m_3$ a tensão $T$ da corda.

No Problema temos um fio único que vincula os corpos sendo assim a tensão $T$ é a mesma ao longo da corda, podemos escrever o diagrama de força de cada bloco para determinar as forças que estão agindo sobre o sistema,

Do diagrama encontramos pela segunda lei de Newton as equações que fornecem as informações dos movimentos de cada parte do sistema, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \vec{T}+\vec{P}_1=m_1\vec{a}_1\\ \vec{T}+\vec{P}_2=m_2\vec{a}_2\\ 2\vec{T}+\vec{P}_3=m_3\vec{a}_3\\ \end{array}\right.$$ Em modulo, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T-m_1a_1=P_1\\ T-m_2a_2=P_2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ 2T-m_3a_3=P_3\\ \end{array}\right.$$ Temos em mãos um sistema de quatro incógnitas e três equações, o que implica que é um sistema indeterminado, pois, falta ainda uma informação a ser dada que é como se da o movimento do sistema, em que direção e sentido se dará o movimento, devemos então realizar uma análise da variação espacial do fio.

Na figura estão representados os comprimentos dos fios em cada parte do sistema, é natural pensar que se o fio não é distendido, seu comprimento total se manterá constante, logo, $$2l_3+l_2+l_1=C$$ Sendo o fio constante se tomarmos uma variação dos comprimentos dos fios em um intervalo de tempo $\Delta t$ obteremos, que as novas medidas das partes dos fios $l'_1$, $l'_2$ e $l'_3$ ainda permaneceram constantes, $$2l'_3+l'_2+l'_1=C$$ podemos igualar os comprimentos e obter, $$2\Delta y_3+\Delta y_2+\Delta y_1=0$$ tomando uma quantidade infinitesimal dessa mesma variação obtemos, $$2d y_3+d y_2+d y_1=0$$ e dividindo a equação por uma quantidade infinitesimal de tempo $dt$ obtemos, $$2\frac{dy_3}{dt}+\frac{dy_2}{dt}+\frac{dy_1}{dt}=0$$ Como existe uma aceleração não nula no sistema, as velocidades não são constantes e podemos derivar a equação no tempo e obter, $$2\frac{d^2y_3}{dt^2}+\frac{d^2y_2}{dt^2}+\frac{d^2y_1}{dt^2}=0$$ , ou seja, $$2a_3+a_2+a_1=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$ Podemos agora relacionar as acelerações do sistema (1) pela equação (2), $$\left\lbrace \begin{array}{ll} a_1=\frac{T}{m_1}-g\\ a_2=\frac{T}{m_2}-g\\ a_3=\frac{2T}{m_3}-g\\ \end{array}\right. \Rightarrow\ \ \ \ \ \ 2\left( \frac{2T}{m_3}-g\right)+\frac{T}{m_2}-g+\frac{T}{m_1}-g=0$$ Isolando a tensão obtemos, $$T=\left( \frac{4m_3m_2m_1}{4m_2m_1+m_3m_1+m_3m_2}\right) g\ \ \ (3)$$ Substituindo a tensão em cada uma das três equações obtemos, os seguintes valores questionados no problema, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} a_1=\left( \frac{3m_2 m_3-4m_1 m_2-m_1 m_3}{4m_1 m_2+m_1 m_3+m_2 m _3}\right) g\\ a_2=\left( \frac{3m_1 m_3-4m_1 m_2-m_2 m_3}{4m_1 m_2+m_1 m_3+m_2 m _3}\right) g\\ a_3=\left( \frac{4m_1 m_2-m_1 m_3-m_2 m_3}{4m_1 m_2+m_1 m_3+m_2 m _3}\right) g\\ T=\left( \frac{4m_3m_2m_1}{4m_2m_1+m_3m_1+m_3m_2}\right) g\\ \end{array}\right.$$ Substituindo os valores dados no problema obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} a_1= \frac{1}{5} g\\ a_2= -\frac{3}{5} g\\ a_3= \frac{1}{5} g\\ T=\frac{6}{5}g\\ \end{array}\right.$$

Observação: no livro 5º edição na parte de resposta essa questão está incorreta. (Ver errata 5º edição)