Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 3.1

3.1) No problema do caçador e do macaco (seç.3.1), mostre analiticamente que a bala atingira o alvo, e calcule em que instante isso ocorre, para uma dada distância $d$ entre eles e altura h do galho, sendo $v_0$ a velocidade inicial da bala. Interprete o resultado.

Podemos adotar o referencial com a origem na extremidade do cano da arma, tornando possível representar a situação da queda livre do macaco e a trajetória curva da bala em duas dimensões,

O macaco cai devido a aceleração da gravidade em $y$ a partir de uma altura $h$ em relação ao referencial escolhido, enquanto o caçador atira a bala com uma inclinação $\theta$ em relação a vertical, a bala sai do cano da arma com velocidade $\vec{v}_0$ e durante a trajetória ela tem um movimento devido a força da gravidade que desvia a trajetória $k$ da bala que descreve uma traje curvilínea, as equações que descrevem o movimento do macaco $M$ e o movimento da bala $B$ são, $$M:\left\lbrace \begin{array}{ll} y_M=h-\frac{1}{2}gt^2\ \ \ (1)\\ x_M=d\ \ \ (2)\\ \end{array}\right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B:\left\lbrace \begin{array}{ll} y_B=v_0\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2\ \ \ (3)\\ x_B=v_0\cos\theta t\ \ \ (4)\\ \end{array}\right.$$ Queremos descobrir então se a bala quando estiver na posição $x_B=x_M=d$ estará na mesma altura em y do macaco, logo, $$v_0\cos\theta t=d\Rightarrow$$ $$t=\frac{d}{v_0\cos\theta}\ \ \ (5)$$ Aplicando a equação (5) em (1) e (3) obtemos a altura da bala e do macaco no instante de tempo em que a bala atinge a distância $x_B=d$, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} y_B=d\tan\theta-\frac{1}{2}g\frac{d^2}{v_0^2\cos^2\theta}\\ y_M=h-\frac{1}{2}g\frac{d^2}{v_0^2\cos^2\theta}\\ \end{array}\right. \Rightarrow$$ $$\left\lbrace \begin{array}{ll} y_B-d\tan\theta=-\frac{1}{2}g\frac{d^2}{v_0^2}\sec^2\theta\\ y_M-h=-\frac{1}{2}g\frac{d^2}{v_0^2}\sec^2\theta\\ \end{array}\right. \Rightarrow$$ Note que as expressões do lado direito das equações são iguais, logo, $$y_M-h=y_B-d\tan\theta\ \ \ \ (6)$$ Porém, olhando para o triângulo formado entre a distância vertical $d$ e a altura $h$ obtemos que $\tan\theta=\frac{h}{d}$, aplicando a relação em (6) obtemos, $$y_M-h=y_B-d\frac{h}{d}\Rightarrow$$ $$y_M-h=y_B-h\Rightarrow$$ $$y_M=y_B$$ Podemos ver que $y_B=y_M$ logo a bala de fato atingira o macaco. Igualando (1) e (3) obtemos, $$y_M=h-\frac{1}{2}gt^2=v_0\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2=y_B\Rightarrow$$ $$h=v_0\sin\theta t\Rightarrow$$ $$t=\frac{h}{v_0\sin\theta }\ \ \ \ (7)$$ Usando o teorema de Pitagoras podemos obter a hipotenusa $k$ do triângulo gerado por $h$, $d$ e $\theta$ e obter $k=\sqrt{h^2+d^2}$, logo $\sin\theta=\frac{h}{\sqrt{h^2+d^2}}$ substituindo a relação em (7) obtemos, $$t=\frac{\sqrt{h^2+d^2}}{v_0}$$