Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 6.6

6.6) Uma balança de mola é calibrada de tal forma que o prato desce de $1cm$ quando uma massa de $0,5kg$ está em equilíbrio sobre ele. Uma bola de $0,5kg$ de massa fresca de pão, guardada numa prateleira $1 m$ acima do prato da balança, escorrega da prateleira e cai sobre ele. Não levando em conta as massas do prato e da mola, de quanto desce o prato da balança?

 Escolhendo o referencial sobre o prato com eixo $z$ positivo para cima, podemos usar uma massa de teste $m_0$ para descobrir a constante da mola, Quando $m_0$ é colocado sobre o prato, ele desce uma altura $\Delta z_0$, a força aplicada sobre o prato é simplesmente o peso $P_0$, usando a lei de Hooke, teremos que, $$-P_0=-k\Delta z_0\Rightarrow$$ $$m_0g=k\Delta z_0\Rightarrow$$ $$k=\frac{m_0g}{\Delta z_0}\ \ \ \ (1)$$

Por outro lado, a massa $m$ que está a uma altura $l$ do prato, transforma sua energia potencial gravitacional em cinética e após colidir com o prato transforma toda sua energia cinética em potencial elástico e gravitacional devido à distensão da mola, fazendo com que o prato caia uma altura $\Delta z$, logo pela lei de conservação de energia, $$mgl=\frac{1}{2}k\Delta z^2+mg\Delta z\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}k\Delta z^2+mg\Delta z-mgl=0\Rightarrow$$ $$\Delta z = -\frac{mg}{k}\mp\frac{\sqrt{m^2g^2+2mglk}}{k}\ \ \ (2)$$ Aplicando a equação (1) em (2) obtemos, $$\Delta z = -\frac{\Delta z_0m}{m_0}\mp\frac{\Delta z_0\sqrt{m^2+\frac{2mlm_0}{\Delta z_0}}}{m_0}$$ Substituindo os valores, $$\Delta z = -(0,01m)\mp\frac{(0,01m)\sqrt{(0,5kg)^2+\frac{2(0,5kg)(1m)(0,5kg)}{(0,01m)}}}{0,5kg}$$ Essa equação tem duas soluções, a negativo é a máxima distensão da mola logo apos a massa $m$ colide com o prato, a positiva diz respeito ao momento que a energia potencial elástica é novamente convertida em cinética, isto é, quando o prato volta para cima, só estamos interessados na parte negativa, $$\Delta z=-15cm\\ $$