Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 13.2

13.2) Um bloco de massa $m=1kg$, capaz de deslizar com atrito desprezível sobre um carrinho, está preso a uma mola de constante $k=25N/m$, inicialmente relaxada figura 1. O carrinho é acelerado, a partir do repouso, com aceleração constante A, sendo $|A|=2,5m/s^2$. mostre que o bloco adquire um movimento harmônico simples e calcule. (a) a amplitude do movimento; (b) o período; (c) a compressão máxima da mola.

Adotando o referencial sobre o carinho existe uma força puxando-o para a direita com uma força $F_A$ que depende da aceleração $A$, porém no referencial do bloco existe uma força $-F_A$ puxando o bloco para a esquerda e consequentemente comprimindo a mola, a mola responde com uma força elástica $F_e$, sendo assim o diagrama de força do bloco será,

Usando a segunda lei de Newton escreveremos as equações de movimento, considerando a aceleração devida ao movimento do carrinho, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N-P=0\ \ \ (1)\\ F_e-F_A=ma'\ \ \ (2)\\ \end{array}\right. $$ Usando a equação (2) obtemos que, $$F_e-F_A=ma'\Rightarrow$$ $$kx-mA=ma'\Rightarrow$$ $$kx=ma'+mA\Rightarrow$$ $$kx=m(a'+A)\Rightarrow$$ Fazendo $a=a'+A$, $$kx=ma$$ Como a aceleração é a segunda derivada temporal da posição x então, $$\frac{k}{m}x=\ddot{x}\Rightarrow$$ $$\ddot{x}-\frac{k}{m}x=0\ \ \ (3)$$ Se o movimento do bloco é um movimento harmônico simples então, $x=\gamma\cos\omega t$ é uma possível solução da equação (3), tomando as derivadas temporais da suposta solução obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} x=\gamma\cos\omega t\ \ \ (4)\\ \ddot{x}=-\gamma\omega^2\cos\omega t\ \ \ (5)\\ \end{array}\right. $$ Substituindo (4) e (5) em (3) obtemos, $$-\gamma\omega^2\cos\omega t+\frac{k}{m}\gamma\cos\omega t=0\Rightarrow$$ $$-\omega^2+\frac{k}{m}=0\Rightarrow$$ $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$ O Período de uma movimento desse tipo é dado por $T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}$, onde $\omega$ é a velocidade angular, no caso, $$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\ \ \ \ (6)$$ Sabendo que a compressão máxima é devida pela aceleração do carinho $$F_e=-mA\Rightarrow$$ $$-k\Delta x=-mA\Rightarrow$$ $$\Delta x=\frac{mA}{k}\ \ \ \ (7)$$ As respostas são dadas pelas equações (6) e (7) $$\left\lbrace \begin{array}{lll} T=1,26s\\ \Delta x=0,1m\\ \end{array}\right. $$