Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 5.19

5.19) No sistema da figura 1, a bolinha de massa $m$ está amarrada por fios de massa desprezível ao eixo vertical $AB$ e gira com velocidade angular $\omega$ em torno desse eixo. A distância $AB$ vale $l$. Calcule as tensões nos fios superior e inferior. Para que valor de $\omega$ o fio inferior ficaria frouxo?

A força centrifuga empurra a bola para longe do bastão enquanto o peso pucha a bolinha para a base, em contrapartida, as tensões $T_1$ e $T_2$ equilibram as demais forças deixando a bola em equilíbrio,

Adotando o referencial paralelo ao eixo $AB$ obtemos o seguinte diagrama,

O diagrama de força será dado por, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T_{1y}-T_{2y}-P=0\\ T_{1x}+T_{2x}-F_{cf}=0\\ \end{array}\right.$$ Decompondo os vetores obtemos $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T_{1}\cos\theta-T_{2}\cos\beta-P=0\\ T_{1}\sin\theta+T_{2}\sin\beta-F_{cf}=0\\ \end{array}\right.$$ Reescrevendo as equações obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T_{1}-T_{2}\frac{\cos\beta}{\cos\theta}-\frac{P}{\cos\theta}=0\ \ \ (1)\\ -T_{1}-T_{2}\frac{\sin\beta}{\sin\theta}+\frac{F_{cf}}{\sin\theta}=0\ \ \ (2)\\ \end{array}\right.$$ Somando as equações obtemos, $$-T_{2}\frac{\cos\beta}{\cos\theta}-T_{2}\frac{\sin\beta}{\sin\theta}+\frac{F_{cf}}{\sin\theta}-\frac{P}{\cos\theta}=0\Rightarrow$$ $$T_{2}\left( \frac{\cos\beta}{\cos\theta}+\frac{\sin\beta}{\sin\theta}\right) =\frac{F_{cf}\cos\theta-P\sin\theta}{\sin\theta\cos\theta}\Rightarrow$$ $$T_{2}=\frac{F_{cf}\cos\theta-P\sin\theta}{\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta}\ \ \ \ (3)$$ Substituindo (3) em (1) obtemos, $T_1$ $$T_{1}= \frac{F_{cf}\cos\beta+P\sin\beta}{\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta}\ \ \ \ (4)$$ Sendo assim resta o seguinte sistema, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T_{1}= \frac{F_{cf}\cos\beta+P\sin\beta}{\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta}\\ T_{2}=\frac{F_{cf}\cos\theta-P\sin\theta}{\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta}\\ \end{array}\right.$$ Desenvolvendo as equações do sistema obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T_{1}=m\frac{\omega^2R\cos\beta+g\sin\beta}{\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta}\ \ \ \ (5)\\ T_{2}=m\frac{\omega^2R\cos\theta-g\sin\theta}{\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta}\ \ \ \ (6)\\ \end{array}\right.$$ Devemos agora encontrar o valor de $R$ em função de $\beta$, $\theta$ e $l$, sabemos que $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \overline{AO}=\frac{R}{\tan\theta}\\ \overline{OB}=\frac{R}{\tan\beta} \end{array}\right.$$ Como $l=\overline{OB}+\overline{AO}$ teremos que, $$l=\frac{R}{\tan\beta}+\frac{R}{\tan\theta}\Rightarrow$$ $$R=\left(\frac{\sin\beta\sin\theta}{\cos\beta\sin\theta+\sin\beta\cos\theta}\right)l\ \ \ \ (7)$$ Substituindo (7) em (5) e (6) obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T_{1}=m\sin\beta\left( \frac {\omega^2l\sin\theta\cos\beta+(\cos\beta\sin\theta+\sin\beta\cos\theta)g} {(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)^2}\right)\\ T_{2}=m\sin\theta\left( \frac {\omega^2l\sin\beta\cos\theta-(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)g} {(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)^2}\right)\\ \end{array}\right.$$ Queremos agora descobrir qual é a velocidade angula $\omega_0$ para a qual o fio inferior fica frouxo, em outras palavras, a velocidade angular para a qual $T_2=0$, $$T_{2}=m\sin\theta\left( \frac {\omega_0^2l\sin\beta\cos\theta-(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)g} {(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)^2}\right)=0\Rightarrow$$ $$\omega_0^2l\sin\beta\cos\theta-(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)g=0\Rightarrow$$ $$\omega_0^2=\frac{(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)g}{l\sin\beta\cos\theta}\Rightarrow$$ $$\omega_0=\sqrt{\frac{(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)g}{l\sin\beta\cos\theta}}$$ Logo, as tensões e a velocidade angular crítica é, $$\left\lbrace \begin{array}{lll} T_{1}=m\sin\beta\left( \frac {\omega^2l\sin\theta\cos\beta+(\cos\beta\sin\theta+\sin\beta\cos\theta)g} {(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)^2}\right)\\ T_{2}=m\sin\theta\left( \frac {\omega^2l\sin\beta\cos\theta-(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)g} {(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)^2}\right)\\ \omega_0=\sqrt{\frac{(\sin\theta\cos\beta+\sin\beta\cos\theta)g}{l\sin\beta\cos\theta}}\\ \end{array}\right.$$ Substituindo os valores do problema obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{lll} T_{1}=\frac{m}{2}\left(\frac{3}{4}\omega^2l+g\right)\\ T_{2}=\frac{m}{2}\sqrt{3}\left( \frac{1}{4}\omega^2l-g\right)\\ \omega_0=2\sqrt{\frac{g}{l}}\\ \end{array}\right.$$