Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 6.4

6.4) No sistema da figura, onde as pólias e os fios têm massa desprezível, $m_1=1kg$ e $m_2=2kg$. (a) O sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são $l_1$ e $l_2$ . Usando conservação da energia, calcule as velocidades de $m_1$ e $m_2$ depois que $m_2$ desceu uma distância $x_2$ . (b) Calcule a partir daí as acelerações $a_1$ e $a_2$ das duas massas. (c) Verifique os resultados usando as leis de Newton.

a) Primeiramente percebemos que a corda tem um comprimento constante, dessa forma $$2l_1+l_2=L$$ Porem tais seções da corda $l_1$ e $l_2$ variam com o tempo, assim se derivarmos a expressão em relação ao tempo obtemos $$2\frac{dl_1}{dt}+\frac{dl_2}{dt}=\frac{dL}{dt}\Rightarrow$$ $$2v_1+v_2=0\ \ \ \ \ (1)$$

Agora podemos escrever a energia inicial $E_i$ lembrando que inicialmente o sistema tem apenas energia potencial em relação ao sistema de coordenadas estabelecido na imagem $$E_i=m_1gl_1+m_2gl_2$$

No segundo momento, apos o bloco de massa $m_2$ descer uma distância $x_2$ enquanto o bloco de massa $m_1$ sobe uma distância $\frac{1}{2}x_2$ vez que $v_1=-\frac{1}{2}v_2$, teremos energia cinética e energia potencial compondo a energia final $E_f$ do sistema $$E_f=\frac{1}{2}m_2v_2^2+m_2g(l_2+x_2)+\frac{1}{2}m_1v_1^2+m_1g(l_1-\frac{1}{2}x_2)$$ Pela lei se conservação de energia mecânica teremos que $$\Delta E=0\ \Rightarrow\ E_i=E_f$$ dessa forma obtemos $$m_1gl_1+m_2gl_2=\frac{1}{2}m_2v_2^2+m_2g(l_2+x_2)+\frac{1}{2}m_1v_1^2+m_1g(l_1-\frac{1}{2}x_2)\Rightarrow$$ $$m_1gl_1+m_2gl_2-m_1gl_1-m_2gl_2=\frac{1}{2}m_2v_2^2+m_2gx_2+\frac{1}{2}m_1v_1^2-\frac{1}{2}m_1gx_2\Rightarrow$$ $$0=\frac{1}{2}m_2v_2^2+m_2gx_2+\frac{1}{2}m_1v_1^2-\frac{1}{2}m_1gx_2\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}m_1gx_2-m_2gx_2=\frac{1}{2}m_2v_2^2+\frac{1}{2}m_1v_1^2$$ Da relação (1) obtemos que $v_2=-2v_1$, logo $$\frac{1}{2}m_1gx_2-m_2gx_2=\frac{1}{2}m_2\left( -2v_1\right) ^2+\frac{1}{2}m_1v_1^2\Rightarrow$$ $$\left( m_1-2m_2\right)g x_2=4m_2v_1^2+m_1v_1^2\Rightarrow$$ $$\left(m_1-2m_2\right)gx_2=\left( 4m_2+m_1\right) v_1^2\Rightarrow$$ $$v_1^2=\frac{\left(m_1-2m_2\right)}{\left( 4m_2+m_1\right)}gx_2\Rightarrow$$ $$v_1=\left( \frac{\left(m_1-2m_2\right)}{\left( 4m_2+m_1\right)}gx_2\right)^{\frac{1}{2}}\ \ \ (2)$$ para obter $v_2$ basta lembrar da equação (1) $2v_1+v_2=0$ $\Rightarrow$ $-2v_1=v_2$, logo $$v_2=-2\left( \frac{\left(m_1-2m_2\right)}{\left( 4m_2+m_1\right)}gx_2\right)^{\frac{1}{2}}\ \ \ (3)$$ b) para descobrir a aceleração $a_2$ basta usar a equação de torricelli $$v_2^2=v_0^2+2a_2\Delta x$$ como a velocidade inicial $v_0$ é nula teremos $$v_2^2=2a_2x_2$$ substituindo (3) obtemos $$\left(-2\left( \frac{\left(m_1-2m_2\right)}{\left( 4m_2+m_1\right)}gx_2\right)^{\frac{1}{2}} \right) ^2=2a_2x_2\Rightarrow$$ $$4\frac{\left(m_1-2m_2\right)}{\left( 4m_2+m_1\right)}gx_2=2a_2x_2 \Rightarrow$$ $$a_2=2\frac{\left(m_1-2m_2\right)}{\left( 4m_2+m_1\right)}g\Rightarrow$$ $$a_2=\frac{2}{3}g \ \ \ \ (4)$$ para determinar $a_1$ basta derivar a equação (1) no tempo $$2v_1+v_2=0\Rightarrow$$ $$2\frac{dv_1}{dt}+\frac{dv_2}{dt}=0\Rightarrow$$ $$2a_1+a_2=0\Rightarrow$$ $$a_1=-\frac{1}{2}a_2$$ substituindo a equação (4) obtemos $$a_1=-\frac{1}{3}g$$