Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 5.22

5.22) Um feixe de prótons movendo-se ao longo de uma direção tomada como eixo $Ox$ com velocidade de $10^6m/s$ penetra numa região onde existe um campo magnético uniforme de intensidade $100gauss$, dirigido ao longo do eixo $Oz$. Calcule a deflexão do feixe na direção $y$ após penetrar uma distância de $50cm$ ao longo da direção $x$ na região onde existe o campo magnético.

 Adotando o referencial como o sugerido na questão, com o campo magnético voltado para dentro do plano, teremos que a trajetória descrita pela partícula é circular, pois, existe sempre uma força atuando radialmente a origem do sistema, já que a força magnética é dado por, $\vec{F}_B=q\vec{v}\times\vec{B}$ implica que a força é sempre radial a trajetória, depois de percorrer uma distância $l$ na direção $Ox$ dentro da região munida com o campo magnético $B$ a partícula terá descrito um comprimento de arco $s$ mantendo o raio de curvatura $R$ constante no processo, a posição $(s,R)$ provoca um desvio $h$ em relação ao eixo $x$,

Como o triangulo gerado pela abertura $\theta$ tem dois lados iguais ele é um triangulo isósceles, cujos ângulos respeitam a seguinte relação, $$2\beta+\theta=180°\ \ \ (1)$$ Olhando para o triangulo retângulo gerado por $\theta$ obtemos a seguinte relação, $$\sin\theta=\frac{l}{R}\Rightarrow$$ $$\theta=\arcsin\left( \frac{l}{R}\right)$$ O raio de curvatura é dada pela expressão $R=\frac{mv_0}{qB}$, ou seja, $$\theta=\arcsin\left( \frac{qBl}{mv_0}\right) \ \ \ \ (2)$$ Considerando o triangulo retângulo gerado pela abertura $\beta$ fica claro a seguinte relação, $$\tan\beta=\frac{l}{h}\Rightarrow$$ $$h=l\cot\beta$$ Como $\cot\beta=\tan(90-\beta)$ teremos que, $$h=l\tan(90°-\beta)\ \ \ \ (3)$$ $\beta$ é dado pela equação (1), $\beta=\frac{180-\theta}{2}$ e pela relação (2) obtemos por fim que, $$\beta=\frac{180°-\arcsin\left( \frac{qBl}{mv_0}\right)}{2}$$ Substituindo o resultado em (3) obtemos, $$h=l\tan\left( 90°+\frac{\arcsin\left( \frac{qBl}{mv_0}\right)-180°}{2}\right)$$ Substituindo os valores obtemos e lembrando que $100Gauss=\frac{1}{100}Tesla$, $$h=(0,5m)\tan\left( 90°+\frac{\arcsin\left( \frac{(1,6\times10^{-19}C)(0,01Tesla)(0,5m)}{(1,672\times10^{-27}kg)(10^6m/s)}\right)-180°}{2}\right)\Rightarrow$$ $$h=-0,127m$$