Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 5.9

5.9) No sistema da figura (máquina de Atwood), mostre que a aceleração $a$ da massa $M$ e a tensão $T$ (desprezando as massas da corda e da pólia) são dadas por. $$a=\frac{M-m}{M+m}g\ \ \ \ \ \ T=\frac{2mM}{M+m}g$$  

 Podemos adotar dois referenciais distintos, com orientação semelhante, localizados nos corpos de massa M e m da seguinte forma,

Supondo que a massa M esteja caindo e que m esteja subindo, podemos usar a segunda lei de Newton e encontrar um sistema que relacione os dois corpos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \vec{T}-\vec{P}_m=m\vec{a}\\ \vec{T}-\vec{P}_M=-M\vec{a}\\ \end{array}\right.$$ , ou seja, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T-ma=mg\\ T+Ma=Mg\\ \end{array}\right.$$ Escalonando o sistema, $$\left( \begin{array}{ccc} 1 &-m & mg\\ 1 & M & Mg\\ \end{array}\right) =^1 \left( \begin{array}{ccc} 1 &-m & mg\\ 0 & M+m & Mg-mg\\ \end{array}\right)=^2\left( \begin{array}{ccc} 1 &0 & mg+gm\frac{M-m}{M+m}\\ 0 & 1 & g\frac{M-m}{M+m}\\ \end{array}\right)$$ 1) multiplica-se a primeira linha por -1 e soma-se a segunda linha. 2) multiplica-se a segunda linha por $\frac{m}{M+m}$ e soma-se a primeira linha, em seguida multiplica-se a segunda linha por $\frac{1}{M+m}$. Voltando com o sistema para a forma inicial obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T=mg+mg\frac{M-m}{M+m}\\ a=\frac{M-m}{M+m}g\\ \end{array}\right.$$ Manipulando a tensão obtemos, $$T=mg+mg\frac{M-m}{M+m}=mg\left( 1+\frac{M-m}{M+m}\right) =mg\left( \frac{M+m}{M+m}+\frac{M-m}{M+m}\right)\Rightarrow$$ $$T=mg\left(\frac{2M}{M+m}\right)=\left(\frac{2mM}{M+m}\right)g$$ Logo, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T=\left(\frac{2mM}{M+m}\right)g\\ a=\left( \frac{M-m}{M+m}\right) g\\ \end{array}\right.$$