5.14) Um bloquinho de massa igual a 100g encontra-se numa extremidade de uma prancha de 2m de
comprimento e massa 0,5kg. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloquinho e a prancha são, respectivamente, 0,4 e 0,35. A prancha está sobre uma mesa horizontal e lisa (atrito desprezível). Com que força máxima podemos empurrar a outra extremidade da prancha para que o bloquinho não deslize sobre ela? Se a empurrarmos com urna força de 3 N, depois de quanto tempo o bloquinho cairá da prancha?
No caso mais geral possível, onde o bloco e a plataforma se movem em relação ao solo, temos que a aceleração do bloco $a_b$ e a aceleração da plataforma $a_p$ estão ambas para a esquerda, de modo que $a_b\leqslant a_p$, escreveremos os diagramas de corpo livre do bloco em relação a um referencial em repouso sobre a plataforma enquanto o diagrama da plataforma será escrito em relação a um referencial em repouso sobre o solo. Como o referencial do bloco não é inercial, o bloco sente uma força inercial F para a direita,
Usando a segunda lei de Newton obtemos os sistemas que fornecem o movimento do sistema,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
N_b-P_b=0\ \ \ (1)\\
-F_a=-m_ba_b\ \ \ (2)\\
\end{array}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace \begin{array}{ll}
N_p-P_p-N_b=0\ \ \ (3)\\
F_a-F=-m_pa_p\ \ \ (4)\\
\end{array}\right.$$
Para que o bloco permaneça na plataforma sem deslizar, temos que $a_b=a_p=a$ e $F=F_e$, sendo $F_e$ a força estática limite em que o bloco não desliza, logo,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
N_b-P_b=0\\
F_a=m_ba\\
\end{array}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace \begin{array}{ll}
N_p-P_p-N_b=0\\
F_a-F_e=-m_pa\\
\end{array}\right.$$
Da equação, (2) obtemos $F_a=m_ba=N_b\mu_e=P_b\mu_e=m_bg\mu_e$, logo,
$$m_ba=m_bg\mu_e\Rightarrow$$
$$a=g\mu_e\ \ \ \ (5)$$
Aplicando (5) em (4) obtemos,
$$F_a-F_e=-m_pg\mu_e\Rightarrow$$
$$F_e=m_pg\mu_e+F_a \ \ \ (6)$$
Usando (2) e suas relações em (6) obtemos,
$$F_e=(m_p+m_b)g\mu_e$$
Quando o cubo desliza sobre a plataforma devemos usar o caso geral, de (2) obtemos que, $F_a=m_bg\mu_e$ aplicando em (4) obtemos a aceleração da plataforma,
$$a_p=\frac{F-m_bg\mu_e}{m_p}\ \ \ (7)$$
Usando novamente $F_a=m_ba_b$ e aplicando (7) em (4) obtemos,
$$a_b=g\mu_e \ \ \ \ (8)$$
Em relação ao solo a aceleração do bloco é dado por $(a_p-a_b)$ e como o bloco descreve um movimento uniformemente acelerado sua equação de movimento será,
$$S=S_0+v_0t-\frac{1}{2}(a_p-a_b)t^2$$
Sendo a velocidade inicial é nula e adotando o fim da rampa como ponto distancia zero,
$$0=S_0-\frac{1}{2}(a_p-a_b)t^2\Rightarrow$$
$$t=\sqrt{\frac{2S_0}{a_p-a_b}}\Rightarrow$$
$$t=\sqrt{\frac{2S_0m_p}{f-(m_p+m_b)g\mu_c}}$$
Ou seja,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
F_e=(m_p+m_b)g\mu_e\\
t=\sqrt{\frac{2S_0m_p}{f-(m_p+m_b)g\mu_c}}\\
\end{array}\right.$$
Substituindo os valores obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
F_e=2, 35N\\
t=1,46s\\
\end{array}\right.$$
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