Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 5.14

5.14) Um bloquinho de massa igual a 100g encontra-se numa extremidade de uma prancha de 2m de comprimento e massa 0,5kg. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloquinho e a prancha são, respectivamente, 0,4 e 0,35. A prancha está sobre uma mesa horizontal e lisa (atrito desprezível). Com que força máxima podemos empurrar a outra extremidade da prancha para que o bloquinho não deslize sobre ela? Se a empurrarmos com urna força de 3 N, depois de quanto tempo o bloquinho cairá da prancha?

No caso mais geral possível, onde o bloco e a plataforma se movem em relação ao solo, temos que a aceleração do bloco $a_b$ e a aceleração da plataforma $a_p$ estão ambas para a esquerda, de modo que $a_b\leqslant a_p$, escreveremos os diagramas de corpo livre do bloco em relação a um referencial em repouso sobre a plataforma enquanto o diagrama da plataforma será escrito em relação a um referencial em repouso sobre o solo. Como o referencial do bloco não é inercial, o bloco sente uma força inercial F para a direita,

Usando a segunda lei de Newton obtemos os sistemas que fornecem o movimento do sistema, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N_b-P_b=0\ \ \ (1)\\ -F_a=-m_ba_b\ \ \ (2)\\ \end{array}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace \begin{array}{ll} N_p-P_p-N_b=0\ \ \ (3)\\ F_a-F=-m_pa_p\ \ \ (4)\\ \end{array}\right.$$ Para que o bloco permaneça na plataforma sem deslizar, temos que $a_b=a_p=a$ e $F=F_e$, sendo $F_e$ a força estática limite em que o bloco não desliza, logo, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N_b-P_b=0\\ F_a=m_ba\\ \end{array}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace \begin{array}{ll} N_p-P_p-N_b=0\\ F_a-F_e=-m_pa\\ \end{array}\right.$$ Da equação, (2) obtemos $F_a=m_ba=N_b\mu_e=P_b\mu_e=m_bg\mu_e$, logo, $$m_ba=m_bg\mu_e\Rightarrow$$ $$a=g\mu_e\ \ \ \ (5)$$ Aplicando (5) em (4) obtemos, $$F_a-F_e=-m_pg\mu_e\Rightarrow$$ $$F_e=m_pg\mu_e+F_a \ \ \ (6)$$ Usando (2) e suas relações em (6) obtemos, $$F_e=(m_p+m_b)g\mu_e$$ Quando o cubo desliza sobre a plataforma devemos usar o caso geral, de (2) obtemos que, $F_a=m_bg\mu_e$ aplicando em (4) obtemos a aceleração da plataforma, $$a_p=\frac{F-m_bg\mu_e}{m_p}\ \ \ (7)$$ Usando novamente $F_a=m_ba_b$ e aplicando (7) em (4) obtemos, $$a_b=g\mu_e \ \ \ \ (8)$$ Em relação ao solo a aceleração do bloco é dado por $(a_p-a_b)$ e como o bloco descreve um movimento uniformemente acelerado sua equação de movimento será, $$S=S_0+v_0t-\frac{1}{2}(a_p-a_b)t^2$$ Sendo a velocidade inicial é nula e adotando o fim da rampa como ponto distancia zero, $$0=S_0-\frac{1}{2}(a_p-a_b)t^2\Rightarrow$$ $$t=\sqrt{\frac{2S_0}{a_p-a_b}}\Rightarrow$$ $$t=\sqrt{\frac{2S_0m_p}{f-(m_p+m_b)g\mu_c}}$$ Ou seja, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} F_e=(m_p+m_b)g\mu_e\\ t=\sqrt{\frac{2S_0m_p}{f-(m_p+m_b)g\mu_c}}\\ \end{array}\right.$$ Substituindo os valores obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} F_e=2, 35N\\ t=1,46s\\ \end{array}\right.$$