zemansky - calor e termodinâmica. Problema 2.1, 5º edição

2.1) A equação de estado de um gás ideal é dada por $PV=R\theta$. Demostre que o coeficiente de dilatação volumétrica $\beta$ e o coeficiente de compressibilidade $\kappa$ são dados por:

$$\beta=\frac{1}{\theta};\ \ \ \ \ \ \ \kappa=\frac{1}{P}$$

Podemos demostrar reescrevendo a equação de estado $V=\frac{R\theta}{p}$. Agora podemos encontrar as derivadas de $V(P,\theta)$.

$$\frac{\partial V}{\partial P}=-\frac{R\theta}{P^2};\ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial V}{\partial\theta}=\frac{R}{P};$$

Substituindo as derivadas parciais nas equações de $\beta=\frac{1}{V}\frac{\partial V}{\partial\theta}$ e $\kappa=-\frac{1}{V}\frac{\partial V}{\partial P}$ encontramos: $$\beta=\frac{1}{V}\frac{R}{P};\ \ \ \ \ \ \ \kappa=\frac{1}{V}\frac{R\theta}{P^2};$$ Como $VP=R\theta$ obtemos: $$\beta=\frac{R}{R\theta};\ \ \kappa=\frac{R\theta}{R\theta P};$$ Ou seja: $$\beta=\frac{1}{\theta};\ \ \kappa=\frac{1}{P};$$