Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 11.2

11.2) Um dipolo elétrico é um par de cargas iguais e opostas, $+q$ e $-q$, separadas por uma distância $d$. O momento de dipolo elétrico $\vec{P}$ associado ao dipolo í o vetor $\vec{P}$=q$\vec{d}$ onde $|\vec{d}|=d$ e $\vec{d}$ aponta de $-q$ para $+q$ (figura 1). Considere um dipolo eletrico situado em um campo elétrico $\vec{E}$ uniforme. (a) Mostre que a resultante das forças elétricas aplicadas no dipolo é nula, mas que o torque resultante é $\vec{\tau}=\vec{P}\times\vec{E}$ (Em relação a qualquer ponto). (b) Mostre que a energia potencial do dipolo no campo (Seç. 7.5) é dado por $U=-\vec{P}\cdot\vec{E}$. Identifique as situações de equilíbrio estável e instável do dipolo no campo.

Podemos escolher um sistema de referenciais com origem sobre a carga $-q$ e de forma que o eixo $oy$ coincida com com a direção $\vec{d}$,

Como o campo $\vec{E}$ é uniforme ele gera uma força elétrica em cada uma das cargas,

Logo o diagrama de forças do dipolo será,

Usando a segunda lei de Newton em cada direção obtemos,

  $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \sum \vec{F}_y=\vec{F}_e-\vec{F}_e+q\vec{E}_y-q\vec{E}_y=0\\ \sum \vec{F}_x=q\vec{E}_x-q\vec{E}_x=0\\ \end{array}\right.$$

 Como podemos ver a força elétrica que atua sobre o dipolo é nula como ja esperávamos. Os torques sobre cada dipolo na figura 3 é dado por,

  $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \vec{\tau}_{-q}=-q\vec{E}\times\frac{\vec{d}}{2}\\ \vec{\tau}_{q}=q\vec{E}\times(-\frac{\vec{d}}{2})\\ \end{array}\right.$$

 Porém sabemos que pela relação $\vec{P}=q\vec{d}$ que a distância é da $\vec{d}=\frac{\vec{P}}{q}$ aplicando essa relação no sistema linear obtemos, 

$$\left\lbrace \begin{array}{ll} \vec{\tau}_{-q}=-q\vec{E}\times\frac{\vec{P}}{2q}\\ \vec{\tau}_{q}=q\vec{E}\times(-\frac{\vec{P}}{2q})\\ \end{array}\right.$$

 Ou seja,

$$\left\lbrace \begin{array}{ll} \vec{\tau}_{-q}=-\frac{1}{2}\vec{P}\times\vec{E}\\ \vec{\tau}_{q}=-\frac{1}{2}\vec{P}\times\vec{E}\\ \end{array}\right.$$

 b) Sabemos que a energia potencial, é dada por $U=-\int\vec{F}\cdot d\vec{l}$ podemos substituir os valores conhecidos e obter, $$U=-\int q\vec{E}\cdot d\vec{d}\Rightarrow$$ $$U=-q\vec{E}\cdot\vec{d}\Rightarrow$$ $$U=-q\vec{E}\cdot\frac{\vec{P}}{q}\Rightarrow$$ $$U=-\vec{P}\cdot\vec{E}$$ Quando o dipolo está alinhado com o campo, ele está em equilíbrio estável, quando em outra direção o mesmo não é verdade.