Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 5.1

5.1) Um astronauta, vestindo um traje espacial, consegue pular a uma altura de 60cm na Terra. A que altura conseguira pular na Lua? Os raios médios da Terra e da Lua são de $6.371Km$ e $1.738Km$, respectivamente; as densidades médias são $5,52g/cm^3$ e $3,34g/cm^3$, respectivamente.

Pela segunda lei de Newton: $$\vec{F}=m\vec{a}=-m\vec{g}$$ A força que o astronauta aplica para atingir um altura $h$ em um campo uniforme (isto é aceleração constante) $$\vec{F}=-m\vec{g}\hat{j}=-m\frac{v^2-v_0^2}{2h}\hat{j}$$ Na altura máxima que o astronauta atinge a velocidade $v$ é nula. Como a força aplicada pelo astronauta em ambos os astros é a mesma implica que a velocidade inicial é a mesma: $$\frac{v_0^2}{2}\hat{j}=-hg\hat{j}\ \ \ \ (1)$$ Da equivalência entre massa inercial e massa gravitacional temos: $$\vec{F}=m\vec{g}\hat{r}=\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$$ Ou seja: $$g=\frac{GM}{r^2}\ \ \ \ (2)$$ As acelerações nas proximidades dos astros são $g_L$ e $g_T$, respectivamente, logo: $$g_L=\frac{GM_L}{r_L^2}\ \ \ \ \ \ \ g_T=\frac{GM_T}{r_T^2}\ \ \ (3)$$ Pela equação (1) temos que: $$\frac{v_0^2}{2}=-h_Lg_L=-h_Tg_T$$ Aplicando (3) na expressão obtemos a relação: $$h_L\frac{GM_L}{r_L^2}=h_T\frac{GM_T}{r_T^2}$$ Escrevendo a equação em função do volume $\mu$ e densidade $\rho$ obtemos: $$h_L\frac{G\mu_L\rho_L}{r_L^2}=h_T\frac{G\mu_T\rho_T}{r_T^2}$$ Ou seja: $$\frac{3}{4}h_L\frac{G\pi R^3_L\rho_L}{r_L^2}=\frac{3}{4}h_T\frac{G\pi R^3_T\rho_T}{r_T^2}\ \ \ \ (4)$$ Isolando $h_L$ em (4) $$h_L=\frac{R_T\rho_Th_T}{R_L\rho_L}$$ Substituindo os valores obtemos, $$h_L=3,6m$$