5.13) Um bloco está numa extremidade de uma prancha de $2m$ de comprimento. Erguendo-se
lentamente essa extremidade, o bloco começa a escorregar quando ela está a $1,03m$ de altura, e então leva $2,2s$ para deslizar até a outra extremidade, que permaneceu no chão. Qual é o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a prancha? Qual é o coeficiente de atrito cinético?
Considerando que na altura $h$ o bloco começa a deslizar vamos considerar $\theta$ o ângulo critico, em que o bloco ainda está em repouso devido ao atrito estático $\vec{f}_{ae}$ que o impossibilita de deslizar sobre a rampa de comprimento $l$,
Escolhendo o referencial na direção horizontal em relação à rampa, como na figura 1, devemos decompor a força peso $\vec{P}$ do bloco de massa $m$, naturalmente como também não existe movimento em $y$, temos que parte da força peso anula-se com a força normal $N$ da rampa sobre o bloco,
Usando a segunda lei de Newton podemos representar o sistema em equilíbrio, pelo sistema,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
N\hat{j}-P_y\hat{j}=0\ \ \ (1)\\
P_x\hat{i}-f_{ae}\hat{i}=0\ \ (2)\\
\end{array}\right. $$
Pela equação (1) encontramos que a normal é dada por $N=P_y$ como a força de atrito estático $f_{ae}$ é dada por $f_{ae}=\mu_{e}N$, onde $\mu_{e}$ é o coeficiente de atrito estático, porém pela equação (2),
$$f_{ae}=P_x\Rightarrow\mu_{e}N=P_x\Rightarrow\mu_{e}P_y=P_x\Rightarrow\mu_{e}=\frac{P_x}{P_y}\Rightarrow\mu_{e}=\frac{P\sin\theta}{P\cos\theta}\Rightarrow$$
$$\mu_{e}=\tan\theta\ \ (3)$$
Olhando para o triângulo da figura 1, podemos usar o teorema de Pitagora para descobrir o lado que está faltando, $l^2=h^2+c^2\Rightarrow c=\sqrt{l^2-h^2}$ usando o resultado podemos calcular $\tan\theta$ que resulta em,
$$\tan\theta=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}\ \ \ (4)$$
Aplicando a equação (4) em (3) obtemos,
$$\mu_{e}=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}\ \ (3)$$
Supondo agora uma pequena aumento $d\theta$ do ângulo $\theta$ na rampa, o bloco começa a deslizar aceleradamente $a$ levando um tempo $t$ para chegar atá a base da rampa, naturalmente agora não é mais a força de atrito estático que atua contra o movimento, mas sim a força de atrito cinético,
Decompondo os vetores da nova situação encontramos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
N\hat{j}-P_y\hat{j}=0\ \ \ (5)\\
P_x\hat{i}-f_{ac}\hat{i}=ma\hat{i}\ \ (6)\\
\end{array}\right. $$
Da relação (5) encontramos que $N=P_y$, logo a força de atrito cinético será, $f_{ac}=\mu_{c}P_y$, sendo $\mu_{c}$ o coeficiente de atrito cinético, aplicando o resultado em (6) obtemos,
$$P_x-\mu_{c}P_y=ma$$
Explicitando $\mu_{c}$,
$$\mu_{c}=\frac{g\sin(\theta+d\theta)}{g\cos(\theta+d\theta)}-\frac{a}{g\cos(\theta+d\theta)}\Rightarrow$$
$$\mu_{c}=\tan(\theta+d\theta)-\frac{a}{g\cos(\theta+d\theta)}$$
Usando a identidade trigonométrica da soma de tangente e cosseno, obtemos,
$$\mu_{c}=\frac{\tan\theta+\tan d\theta}{1+\tan\theta\tan d\theta}-\frac{a}{g\cos\theta\cos d\theta-g\sin\theta\sin d\theta}$$
Como $d\theta$ é desprezível podemos considerá-lo nulo que resultara em,
$$\mu_{c}=\tan\theta-\frac{a}{g\cos\theta}$$
Usando as relações trigonométricas da figura 3 e obter expressões para tangente e cosseno $\cos\theta=\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{l}$ e $\tan\theta=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}$ ou seja,
$$\mu_{c}=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}-\frac{al}{g\sqrt{l^2-h^2}}\ \ \ \ (7)$$
Sabemos que a queda do bloco sobre a rampa é dada por,
$$S=S_0+v_ot-\frac{1}{2}at^2$$
Queremos a aceleração em função do tempo $t$ usando o fato de que a velocidade inicial é nula e que quando o bloco chega na base da rampa a distância é zero obtemos,
$$0=l-\frac{1}{2}at^2$$ ou seja,
$$a=\frac{2l}{t^2}\ \ \ (8)$$
Aplicando (8) em (7) obtemos,
$$\mu_{c}=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}-\frac{2l^2}{gt^2\sqrt{l^2-h^2}}$$
Ou seja,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\mu_{e}=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}\\
\mu_{c}=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}-\frac{2l^2}{gt^2\sqrt{l^2-h^2}}\\
\end{array}\right. $$
Substituindo os valores do problema,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\mu_{e}=0,6\\
\mu_{c}=0,5\\
\end{array}\right. $$
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