Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 5.13

5.13) Um bloco está numa extremidade de uma prancha de $2m$ de comprimento. Erguendo-se lentamente essa extremidade, o bloco começa a escorregar quando ela está a $1,03m$ de altura, e então leva $2,2s$ para deslizar até a outra extremidade, que permaneceu no chão. Qual é o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a prancha? Qual é o coeficiente de atrito cinético?

 Considerando que na altura $h$ o bloco começa a deslizar vamos considerar $\theta$ o ângulo critico, em que o bloco ainda está em repouso devido ao atrito estático $\vec{f}_{ae}$ que o impossibilita de deslizar sobre a rampa de comprimento $l$,

Escolhendo o referencial na direção horizontal em relação à rampa, como na figura 1, devemos decompor a força peso $\vec{P}$ do bloco de massa $m$, naturalmente como também não existe movimento em $y$, temos que parte da força peso anula-se com a força normal $N$ da rampa sobre o bloco,

Usando a segunda lei de Newton podemos representar o sistema em equilíbrio, pelo sistema, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N\hat{j}-P_y\hat{j}=0\ \ \ (1)\\ P_x\hat{i}-f_{ae}\hat{i}=0\ \ (2)\\ \end{array}\right.$$ Pela equação (1) encontramos que a normal é dada por $N=P_y$ como a força de atrito estático $f_{ae}$ é dada por $f_{ae}=\mu_{e}N$, onde $\mu_{e}$ é o coeficiente de atrito estático, porém pela equação (2), $$f_{ae}=P_x\Rightarrow\mu_{e}N=P_x\Rightarrow\mu_{e}P_y=P_x\Rightarrow\mu_{e}=\frac{P_x}{P_y}\Rightarrow\mu_{e}=\frac{P\sin\theta}{P\cos\theta}\Rightarrow$$ $$\mu_{e}=\tan\theta\ \ (3)$$ Olhando para o triângulo da figura 1, podemos usar o teorema de Pitagora para descobrir o lado que está faltando, $l^2=h^2+c^2\Rightarrow c=\sqrt{l^2-h^2}$ usando o resultado podemos calcular $\tan\theta$ que resulta em, $$\tan\theta=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}\ \ \ (4)$$ Aplicando a equação (4) em (3) obtemos, $$\mu_{e}=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}\ \ (3)$$ Supondo agora uma pequena aumento $d\theta$ do ângulo $\theta$ na rampa, o bloco começa a deslizar aceleradamente $a$ levando um tempo $t$ para chegar atá a base da rampa, naturalmente agora não é mais a força de atrito estático que atua contra o movimento, mas sim a força de atrito cinético,

Decompondo os vetores da nova situação encontramos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N\hat{j}-P_y\hat{j}=0\ \ \ (5)\\ P_x\hat{i}-f_{ac}\hat{i}=ma\hat{i}\ \ (6)\\ \end{array}\right.$$ Da relação (5) encontramos que $N=P_y$, logo a força de atrito cinético será, $f_{ac}=\mu_{c}P_y$, sendo $\mu_{c}$ o coeficiente de atrito cinético, aplicando o resultado em (6) obtemos, $$P_x-\mu_{c}P_y=ma$$ Explicitando $\mu_{c}$, $$\mu_{c}=\frac{g\sin(\theta+d\theta)}{g\cos(\theta+d\theta)}-\frac{a}{g\cos(\theta+d\theta)}\Rightarrow$$ $$\mu_{c}=\tan(\theta+d\theta)-\frac{a}{g\cos(\theta+d\theta)}$$ Usando a identidade trigonométrica da soma de tangente e cosseno, obtemos, $$\mu_{c}=\frac{\tan\theta+\tan d\theta}{1+\tan\theta\tan d\theta}-\frac{a}{g\cos\theta\cos d\theta-g\sin\theta\sin d\theta}$$ Como $d\theta$ é desprezível podemos considerá-lo nulo que resultara em, $$\mu_{c}=\tan\theta-\frac{a}{g\cos\theta}$$ Usando as relações trigonométricas da figura 3 e obter expressões para tangente e cosseno $\cos\theta=\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{l}$ e $\tan\theta=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}$ ou seja, $$\mu_{c}=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}-\frac{al}{g\sqrt{l^2-h^2}}\ \ \ \ (7)$$ Sabemos que a queda do bloco sobre a rampa é dada por, $$S=S_0+v_ot-\frac{1}{2}at^2$$ Queremos a aceleração em função do tempo $t$ usando o fato de que a velocidade inicial é nula e que quando o bloco chega na base da rampa a distância é zero obtemos, $$0=l-\frac{1}{2}at^2$$ ou seja, $$a=\frac{2l}{t^2}\ \ \ (8)$$ Aplicando (8) em (7) obtemos, $$\mu_{c}=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}-\frac{2l^2}{gt^2\sqrt{l^2-h^2}}$$ Ou seja, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \mu_{e}=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}\\ \mu_{c}=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}-\frac{2l^2}{gt^2\sqrt{l^2-h^2}}\\ \end{array}\right.$$ Substituindo os valores do problema, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \mu_{e}=0,6\\ \mu_{c}=0,5\\ \end{array}\right.$$