Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 5.15

5.15) No sistema da figura, o bloco 1 tem massa de $10kg$ e seu coeficiente de atrito estático com o plano inclinado é $0,5$. Entre que valores mínimo e máximo pode variar a massa m do bloco 2 para que o sistema permaneça em equilíbrio?

Supondo que a rampa tem uma inclinação $\theta$ em relação à vertical, para os cálculos se tornem os mais naturais possíveis escolheremos um sistema de coordenadas sobre a rampa em repouso, para que o bloco de massa $m_1$ não seja arrastado até o topo da rampa a força de atrito $\vec{f}_a$ deve apontar para a base e a massa $M$ do bloco 2 deve ser máxima, estando ela no limite do equilíbrio,

Como o atrito na roldana e a massa da mesma são desprezíveis, somado ao fato de que a corda que liga os dois corpos é o mesma, podemos considerar que a força de tensão sobre cada bloco é igual, sendo assim podemos escrever o diagrama de forças de cada bloco em relação aos seus respectivos sistemas de coordenadas, decompondo os vetores obtemos,

Podemos escrever as equações que modelam o movimento do sistema usando a segundo lei de Newton, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N-P_{1y}=0\ \ (1)\\ T-f_a-P_{1x}=0\ \ (2)\\ \end{array}\right. \ \ \ \ \ \left\lbrace \begin{array}{ll} T_y-P_{2y}=0\ \ (3)\\ T_x-P_{2x}=0\ \ (4)\\ \end{array}\right.$$ Pela equação (2) temos que, $$T=f_a+P_{1x}$$ Porém $f_a=N\mu_e=P_{1y}\mu_e$ logo, $$T=P_{1y}\mu_e+P_{1x}\Rightarrow$$ $$T=m_{1}g\mu_e\cos\theta+m_{1}g\sin\theta\Rightarrow$$ $$T=m_{1}(g\mu_e\cos\theta+g\sin\theta)\ \ \ (5)$$ Da equação (3) obtemos que, $$T\cos\theta=P_{2}\cos\theta\Rightarrow$$ $$T=P_{2}\Rightarrow$$ $$T=Mg\ \ \ (6)$$ Aplicando a equação (6) em (5) obtemos, $$M=m_{1}(\mu_e\cos\theta+\sin\theta)$$ Por outro lado para que a massa $m_1$ não deslize para a base da rampa temos que a massa do bloco 2 deve ter uma massa mínima $m$ de forma que a força de atrito agora aponte para o lado oposto, vez que a tendência do movimento agora é contraria,

Decompondo os novos diagramas de forças obtemos,

Dessa relação surge as novas equações que modelam o novo movimento, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N-P_{1y}=0\ \ (7)\\ T+f_a-P_{1x}=0\ \ (8)\\ \end{array}\right. \ \ \ \ \ \left\lbrace \begin{array}{ll} T_y-P_{2y}=0\ \ (9)\\ T_x-P_{2x}=0\ \ (10)\\ \end{array}\right.$$ Pela equação (8) obtemos, $$T+f_a-P_{1x}=0\Rightarrow$$ $$T=P_{1x}-f_a\Rightarrow$$ $$T=P_{1x}-N\mu_e\Rightarrow$$ $$T=P_{1x}-P_{1y}\mu_e\Rightarrow$$ $$T=m_{1}g\sin\theta-m_{1}g\mu_e\cos\theta\ \ \ (11)$$ Da equação (9) obtemos que, $$T_y=P_{2y}\Rightarrow$$ $$T\cos\theta=mg\cos\theta\Rightarrow$$ $$T=mg\ \ \ \ (12)$$ Aplicando (12) em (11) obtemos, $$m=m_{1}\sin\theta-m_{1}\mu_e\cos\theta\Rightarrow$$ $$m=m_{1}(\sin\theta-\mu_e\cos\theta)$$ Ou seja $M$ e $m$ do bloco 2 serão, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} M=m_{1}(\mu_e\cos\theta+\sin\theta)\\ m=m_{1}(\sin\theta-\mu_e\cos\theta)\\ \end{array}\right.$$ Substituindo os valores do problema obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} M=10,6 kg\\ m=3,54 kg\\ \end{array}\right.$$