Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 6.5

6.5) Um garoto quer atirar um pedregulho de massa igual a $50g$ num passarinho pousado num galho $5m$ a sua frente e $2m$ acima do seu braço. Para isso, utiliza um estilingue em que cada elástico se estica de $1cm$ para uma força aplicada de $1N$. O garoto aponta numa direção a $30°$ da horizontal. De que distância deve puxar os elásticos para acertar no passarinho?

 Podemos adotar o referencial na mão do garoto, se a pedra sai do estilingue com um angulo $\theta$ e velocidade $v_0$ teremos que, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} y=v_0\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2\\ x=v_0\cos\theta t\\ \end{array}\right.$$ Supondo que a pedra percorre na vertical uma altura $h$ e na horizontal uma distância $d$ e supondo que o passarinho está na coordenada $(d,h)$ e que a pedra atinge o pássaro depois de um intervalo de tempo $t_d$ podemos calcular a velocidade $v_0$, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} h=v_0\sin\theta t_d-\frac{1}{2}gt_d^2\ \ \ (1) d=v_0\cos\theta t_d\ \ \ (2) \end{array}\right.$$ Isolando o tempo em (2) obtemos, $$d=v_0\cos\theta t_d\Rightarrow$$ $$t_d=\frac{d}{v_0\cos\theta}$$ Aplicando $t_b$ em (1) e explicitando $v_0$, $$h=v_0\sin\theta t_d-\frac{1}{2}gt_d^2\Rightarrow$$ $$h=v_0\sin\theta\frac{d}{v_0\cos\theta}-\frac{1}{2}g\left( \frac{d}{v_0\cos\theta}\right) ^2\Rightarrow$$ $$h=d\tan\theta-\frac{gd^2}{2v_0^2}\sec^2\theta\Rightarrow$$ $$h=d\tan\theta-\frac{gd^2}{2v_0^2}\left( 1+\tan^2\theta\right) \Rightarrow$$ $$h=d\tan\theta-\frac{gd^2}{2v_0^2}-\frac{gd^2}{2v_0^2}\tan^2\theta \Rightarrow$$ $$2v_0^2h=2v_0^2d\tan\theta-gd^2-gd^2\tan^2\theta \Rightarrow$$ $$v_0=\sqrt{\frac{gd^2\sec^2\theta }{ 2d\tan\theta-2h }} \ \ \ \ (3)$$ Podemos encontrar a contante elástica $k$ da borracha do estilingue com as informações dadas de $F_0$ e $x_0$, $$F_0=kx_0\Rightarrow$$ $$k=\frac{F_0}{x_0}\ \ \ (4)$$ Toda a energia potencial elástica das borrachas será convertido em energia cinética, $$\left( \frac{1}{2}kx^2\right)=\frac{1}{2}mv_0^2\Rightarrow$$ Aplicando (3) e (4) na expressão acima obtemos a distância que o garoto deve puxar para acertar o pássaro, $$\left(\frac{F_0}{x_0}x^2\right)=m\left( \sqrt{\frac{gd^2\sec^2\theta }{ 2d\tan\theta-2h }}\right) ^2\Rightarrow$$ $$x^2=\left( \frac{x_0mgd^2\sec^2\theta }{ 2F_0\left( d\tan\theta-h\right) }\right)\Rightarrow$$ $$x=\sqrt{\left( \frac{x_0mgd^2\sec^2\theta }{ 2F_0\left( d\tan\theta-h\right) }\right)}$$   Substituindo os valores obtemos $$x=\sqrt{\left( \frac{(0,01m)(0,050kg)(9,8m/s^2)(5m)^2\sec^2(30°) }{ 2(1N)\left( (5m)\tan(30°)-(2m)\right) }\right)}=0,215m\Rightarrow$$ $$x=21,5cm$$