Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 5.7

5.7) Um bloco é lançado para cima, com velocidade de $0,5m/s$, sobre uma rampa de 45º de inclinação. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é 0,3. (a) Qual é a distancia máxima atingida pelo bloco ao longo da rampa? (b) Quanto tempo leva o bloco para subir a rampa? (d) Com que velocidade final chega ao pé da rampa?

 a) Podemos inicialmente escrever o diagrama de corpo livre sobre a rampa na direção do movimento,

$$\left\lbrace \begin{array}{ll} \vec{N}-\vec{P}_y=0\ \ \ (1)\\ -\vec{P}_x-\vec{F}_a=-m\vec{a}_x\ \ \ (2)\\ \end{array}\right.$$ Isolando $\vec{P}_y$ em (1) encontramos o valor da normal, logo a força de atrito sera dado por, $$-P_x-\mu P_y=-ma_x\Rightarrow$$ $$g(\sin\theta+\mu\cos\theta)=a_x$$ Sendo assim a equação do movimento para o cubo sobre a rampa é, $$R=v_0t-\frac{1}{2}g(\sin\theta+\mu\cos\theta)t^2\ \ \ (3)$$ Derivando a expressão e igualando a velocidade a zero obtemos o tempo $t_s$ onde a altura é máxima, $$t_s=\frac{v_0}{g(\sin\theta+\mu\cos\theta)}\ \ \ (4)$$ Aplicando $t_s$ na equação do movimento (3) obtemos a altura máxima $h_{max}$, $$h_{max}=\frac{v_0^2}{2g(\sin\theta+\mu\cos\theta)}$$ Substituindo os valores obtemos: $$h_{max}=1,39m$$ b) Com a equação (4) podemos encontrar o tempo de subida, $$t_s=0,56s$$ c) Agora que o cubo está descendo aceleradamente para baixo a gravidade está a seu favor enquanto o atrito está contra o movimento,

Decompondo as forças obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \vec{N}-\vec{P}_y=0\ \ \ (5)\\ -\vec{P}_x+\vec{F}_a=-m\vec{a}_x\ \ \ (6)\\ \end{array}\right.$$ Isolando a normal em (5) encontramos que, $$\mu P_y+ P_x=-ma_x\Rightarrow$$ $$a_x=g(\sin\theta-\mu\cos\theta)$$ Logo a equação do movimento nessa situação é dada por, $$R=h_{max}-\frac{1}{2}g(\sin\theta-\mu\cos\theta)t^2\ \ \ (7)$$ Podemos descobrir o tempo de decida $t_d$ tomando a posição inicial e isolando o tempo, $$t_d=\sqrt{\frac{2h_{max}}{g(\sin\theta-\mu\cos\theta)}}$$ Isolando os valores obtemos, $$t_d=0,76s$$ d) Derivando a expressão (7) e aplicando o tempo de decida $t_d$ obtemos a velocidade final $v_f$, $$v_f=-g(\sin\theta-\mu\cos\theta)t_d$$ Substituindo os valores em $v_f$ obtemos, $$v_f=3,67m/s$$