5.7) Um bloco é lançado para cima, com velocidade de $0,5m/s$, sobre uma rampa de 45º de inclinação. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é 0,3. (a) Qual é a distancia máxima atingida pelo bloco ao longo da rampa? (b) Quanto tempo leva o bloco para subir a rampa? (d) Com que velocidade final chega ao pé da rampa?
a) Podemos inicialmente escrever o diagrama de corpo livre sobre a rampa na direção do movimento,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{N}-\vec{P}_y=0\ \ \ (1)\\
-\vec{P}_x-\vec{F}_a=-m\vec{a}_x\ \ \ (2)\\
\end{array}\right. $$
Isolando $\vec{P}_y$ em (1) encontramos o valor da normal, logo a força de atrito sera dado por,
$$-P_x-\mu P_y=-ma_x\Rightarrow$$
$$g(\sin\theta+\mu\cos\theta)=a_x$$
Sendo assim a equação do movimento para o cubo sobre a rampa é,
$$R=v_0t-\frac{1}{2}g(\sin\theta+\mu\cos\theta)t^2\ \ \ (3)$$
Derivando a expressão e igualando a velocidade a zero obtemos o tempo $t_s$ onde a altura é máxima,
$$t_s=\frac{v_0}{g(\sin\theta+\mu\cos\theta)}\ \ \ (4)$$
Aplicando $t_s$ na equação do movimento (3) obtemos a altura máxima $h_{max}$,
$$h_{max}=\frac{v_0^2}{2g(\sin\theta+\mu\cos\theta)}$$
Substituindo os valores obtemos: $$h_{max}=1,39m$$
b) Com a equação (4) podemos encontrar o tempo de subida,
$$t_s=0,56s$$
c) Agora que o cubo está descendo aceleradamente para baixo a gravidade está a seu favor enquanto o atrito está contra o movimento,
Decompondo as forças obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{N}-\vec{P}_y=0\ \ \ (5)\\
-\vec{P}_x+\vec{F}_a=-m\vec{a}_x\ \ \ (6)\\
\end{array}\right. $$
Isolando a normal em (5) encontramos que,
$$\mu P_y+ P_x=-ma_x\Rightarrow$$
$$a_x=g(\sin\theta-\mu\cos\theta)$$
Logo a equação do movimento nessa situação é dada por,
$$R=h_{max}-\frac{1}{2}g(\sin\theta-\mu\cos\theta)t^2\ \ \ (7)$$
Podemos descobrir o tempo de decida $t_d$ tomando a posição inicial e isolando o tempo,
$$t_d=\sqrt{\frac{2h_{max}}{g(\sin\theta-\mu\cos\theta)}}$$
Isolando os valores obtemos,
$$t_d=0,76s$$
d) Derivando a expressão (7) e aplicando o tempo de decida $t_d$ obtemos a velocidade final $v_f$,
$$v_f=-g(\sin\theta-\mu\cos\theta)t_d$$
Substituindo os valores em $v_f$ obtemos,
$$v_f=3,67m/s$$
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