4.13) O dispositivo da figura gira em torno do eixo vertical com velocidade angular $\omega$ a) qual deve ser a velocidade angular $\omega$ do dispositivo para que a bolinha suspensa pelo fio de comprimento $l$ faça um ângulo $\theta$ com a vertical? b) qual é a tensão no fio?
Adotando o referencial na bola suspensa pelo fio, podemos representar as força agindo no movimento.
Tanto a aceleração linear quanto o torque são nulos, sendo assim a soma das forças será:
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
-T\sin\theta\hat{i}+m\frac{v^2}{r}\hat{i}=0\ \ \ \ \ (1)\\
T\cos\theta\hat{j}-P\hat{j}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)
\end{array}\right. $$
Isolando $T$ em (2) e aplicando em (1) obtemos:
$$mg\tan\theta=m\frac{v^2}{r}$$
Sabemos que a velocidade angular se relaciona com a velocidade tangente da seguinte forma $v=\omega r$, logo:
$$mg\tan\theta=m\omega^2 r$$
Isolando $\omega$ obtemos:
$$\omega=\sqrt{\frac{g\tan\theta}{r}}$$
Como $r$ é a distancia da bola até o eixo de rotação ele pode ser escrito como: $r=d+x$ logo:
$$r=d+l\sin\theta$$
Por fim, a velocidade angular será:
$$\omega=\sqrt{\frac{g\tan\theta}{d+l\sin\theta}}$$
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