Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 4.13

4.13) O dispositivo da figura gira em torno do eixo vertical com velocidade angular $\omega$ a) qual deve ser a velocidade angular $\omega$ do dispositivo para que a bolinha suspensa pelo fio de comprimento $l$ faça um ângulo $\theta$ com a vertical? b) qual é a tensão no fio?

Adotando o referencial na bola suspensa pelo fio, podemos representar as força agindo no movimento.

Tanto a aceleração linear quanto o torque são nulos, sendo assim a soma das forças será: $$\left\lbrace \begin{array}{ll} -T\sin\theta\hat{i}+m\frac{v^2}{r}\hat{i}=0\ \ \ \ \ (1)\\ T\cos\theta\hat{j}-P\hat{j}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{array}\right.$$ Isolando $T$ em (2) e aplicando em (1) obtemos: $$mg\tan\theta=m\frac{v^2}{r}$$ Sabemos que a velocidade angular se relaciona com a velocidade tangente da seguinte forma $v=\omega r$, logo: $$mg\tan\theta=m\omega^2 r$$ Isolando $\omega$ obtemos: $$\omega=\sqrt{\frac{g\tan\theta}{r}}$$ Como $r$ é a distancia da bola até o eixo de rotação ele pode ser escrito como: $r=d+x$ logo: $$r=d+l\sin\theta$$ Por fim, a velocidade angular será: $$\omega=\sqrt{\frac{g\tan\theta}{d+l\sin\theta}}$$