Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 13.6

13.6) Um bloco de massa m encontra-se em repouso sobre uma cunha de ângulo de inclinação $\theta$. A cunha, inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal, é colocada em movimento com aceleração de magnitude $A$, que se faz crescer gradualmente, figura 1. Se $\mu_e$ é o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a cunha, para que valor de $A$ o bloco começará a deslizar para cima sobre a cunha?

Da perspectiva do cunha existe uma força para a direita $\vec{F}_A$ que acelera a mesma, porém se adotarmos o referencial sobre a cunha no bloco de massa $m$ fica claro que o bloco sente uma força de inercia $\vec{F}_A$ contraria ao movimento da cunha,

Representamos as forças que atuam sobre o bloco,

Conforme a aceleração aumenta a força gerada por $A$ tende cada vez mais a superar o a trito e o peso do bloco ate que chega em um ponto critico no linear do movimento, usando a segunda lei de Newton obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N-F_{Ay}-P_y=0\\ -F_{Ax}+P_x+f_a=0\\ \end{array}\right.$$ Decompondo as forças obtemos o diagrama de corpo livre do bloco, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N-F_{A}\sin\theta-P\cos\theta=0\\ F_{A}\cos\theta-P\sin\theta-f_a=0\\ \end{array}\right.$$ Desenvolvendo as equações obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N=mA\sin\theta+mg\cos\theta\ \ \ \ (1)\\ mA\cos\theta-mg\sin\theta-N\mu_e=0\ \ \ \ (2)\\ \end{array}\right.$$ Substituindo (1) em (2), $$mA\cos\theta-mg\sin\theta-mA\mu_e\sin\theta-mg\mu_e\cos\theta=0\Rightarrow$$ $$A(\cos\theta-\mu_e\sin\theta)-(\mu_e\cos\theta+\sin\theta)g=0$$ Dividindo a equação por $\cos\theta$ e explicitando $A$, $$A=\frac{(\mu_e+\tan\theta)g}{1-\mu_e\tan\theta}$$