Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 13.1

13.1) Resolva o problema do caçador e do macaco (capítulo 3, problema 3.1) no referencial do macaco. A trajetória da bala é parabólica no referencial do caçador. que forma assume no referencial do macaco? que tipo de movimento a bala descreve nesse referencial? quanto tempo leva para atingir o macaco?

Como para o referencial do macaco e da bala o campo gravitacional não existe, então o macaco verá a bala realizar uma trajetória retilínea enquanto o macaco permanece em repouso,

Então as esquações de movimento da bala $B$ e do macaco $M$ serão, $$M:\left\lbrace \begin{array}{ll} y_M=0\ \ \ \ (1)\\ x_M=0\ \ \ \ (2)\\ \end{array}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ B:\left\lbrace \begin{array}{ll} y_B=v_0t\sin\theta-h\ \ \ \ (3)\\ x_B=v_0t\cos\theta-d\ \ \ \ (4)\\ \end{array}\right.$$ Queremos saber com que tempo a bala chegará no ponto $x_M=x_B=0$, logo usando a equação (4) e (2) obtemos, $$0=v_0t\cos\theta-d\Rightarrow$$ $$t=\frac{d}{v_0\cos\theta}$$ Aplicando o tempo na equação (3) obtemos, $$y_B=d\tan\theta-h$$ Como $\tan\theta=\frac{h}{d}$ obtemos, $$y_B=d\frac{h}{d}-h\Rightarrow$$ $$y_B=h-h\Rightarrow$$ $$y_B=0=y_B$$ Assim concluímos que a bala realmente atinge o macaco, basta agora calcular o tempo que demora para atingir o macaco, Igualando $x_B=y_B=0$ obtemos, $$y_B=v_0t\sin\theta-h=v_0t\cos\theta-d=x_B\Rightarrow$$ $$t=\frac{h-d}{v_0(\sin\theta-\cos\theta)}\ \ \ (5)$$ Sabendo que $k=\sqrt{d^2+h^2}$ podemos obter as seguintes relações, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \sin\theta=\frac{h}{\sqrt{d^2+h^2}}\\ \cos\theta=\frac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}\\ \end{array}\right.$$ Substituindo as relações na equação (5) obtemos o tempo, $$t=\frac{h-d}{v_0\left(\frac{h-d}{\sqrt{d^2+h^2}}\right)}\Rightarrow$$ $$t=\frac{\sqrt{d^2+h^2}}{v_0}$$