4.8) Um martelo atinge um prego com velocidade $v$, fazendo-o enterrar-se de uma profundidade $l$ numa prancha de madeira, mostre que a razão entre a força média exercida sobre o prego e o peso do martelo é igual a $\frac{h}{l}$" onde $h$ é a altura de queda livre do martelo que o faria chegar ao solo com velocidade $v$. Estime a ordem de grandeza dessa razão para valores típicos de $v$ e $l$.
Adotando o referencial sobre a tabua de madeira, temos o martelo chegara até a cabeça do prego com velocidade dada pela equação $v^2=v^2_0-2g\Delta y$, como a velocidade inicial é nula teremos que,
$$v^2=-2gh\ \ \ \ (1)$$, porém depois que o martelo atingir a cabeça do martelo sofrerá uma aceleração $a\hat{j}$ positiva que o desacelerara de $-v\hat{j}$ até o repouso, tal aceleração é dada por,
$$0=v^2-2al\Rightarrow$$
$$a=\frac{v^2}{2l}$$
Usando a equação (1) obtemos a aceleração,
$$a=-\frac{gh}{l}\ \ \ \ (2)$$
A força que o martelo exerce sobre o preço é igual a $F=ma$, enquanto o peso do martelo será, $P=-mg$, dividindo o primeiro pelo segundo obtemos,
$$\frac{F}{P}=-\frac{ma}{mg}=-\frac{a}{g}\ \ \ (3)$$
Substituindo a aceleração (2) em (3) obtemos,
$$\frac{F}{P}=\frac{h}{l}$$
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