Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 5.8

Exercício 5.8

5.8) Na figura, as molas $M_1$ e $M_2$ têm massa desprezível, o mesmo comprimento relaxado $l_0$ e constantes $k_1$ e $k_2$, respectivamente. Mostre que se pode substituir o par de molas por uma mola equivalente de constante $k$, e calcule $k$ nos casos (a) e (b).

a) adotando um sistema de referenciais com o eixo $ox$ adequadamente alinhado as forças.

Embora os comprimentos das molas relaxadas sejam iguais, as deformações das molas serão diferentes devido ao fato da constante das molas serem diferentes, porém, a força elástica de cada mola será igual devido a essa diferença de deformação que compensa a diferença da constante elástica. $$\left\lbrace \begin{array}{ll} F=-k_1\Delta l_1\\ F=-k_2\Delta l_2\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{ll} -\Delta l_1=\frac{F}{k_1}\\ -\Delta l_2=\frac{F}{k_2}\\ \end{array}\right.$$ Temos que a deformação total do sistema será, $$\Delta x=\Delta l_2+\Delta l_1$$ Logo se quisermos substituir as molas por uma única mola, $$F=-k\Delta x=-k(\Delta l_2+\Delta l_1)=-k(-\frac{F}{k_1}-\frac{F}{k_2})$$ , ou seja, $$-\frac{F}{k}=-\frac{F}{k_2}-\frac{F}{k_1}$$ Podemos agora isolar k e obter, $$k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$$ b) no segundo caso podemos adotar um referencial no sentido da força e considerar que o sistema está em repouso,

Pela segunda lei de Newton temos que, $$\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2$$ Como a deformação em ambas as molas são a mesma teremos que $$\Delta l_1=\Delta l_2=\Delta l$$ Logo, $$-k\Delta l=-k_1\Delta l-k_2\Delta l\Rightarrow$$ $$k=k_1+k_2$$