Exercício 5.8
5.8) Na figura, as molas $M_1$ e $M_2$ têm massa desprezível, o mesmo comprimento relaxado $l_0$ e constantes $k_1$ e $k_2$, respectivamente. Mostre que se pode substituir o par de molas por uma mola equivalente de constante $k$, e calcule $k$ nos casos (a) e (b).
a) adotando um sistema de referenciais com o eixo $ox$ adequadamente alinhado as forças.
Embora os comprimentos das molas relaxadas sejam iguais, as deformações das molas serão diferentes devido ao fato da constante das molas serem diferentes, porém, a força elástica de cada mola será igual devido a essa diferença de deformação que compensa a diferença da constante elástica.
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
F=-k_1\Delta l_1\\
F=-k_2\Delta l_2\\
\end{array}\right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{ll}
-\Delta l_1=\frac{F}{k_1}\\
-\Delta l_2=\frac{F}{k_2}\\
\end{array}\right. $$
Temos que a deformação total do sistema será,
$$\Delta x=\Delta l_2+\Delta l_1$$
Logo se quisermos substituir as molas por uma única mola,
$$F=-k\Delta x=-k(\Delta l_2+\Delta l_1)=-k(-\frac{F}{k_1}-\frac{F}{k_2})$$, ou seja,
$$-\frac{F}{k}=-\frac{F}{k_2}-\frac{F}{k_1}$$
Podemos agora isolar k e obter,
$$k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$$
b) no segundo caso podemos adotar um referencial no sentido da força e considerar que o sistema está em repouso,
Pela segunda lei de Newton temos que,
$$\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2$$
Como a deformação em ambas as molas são a mesma teremos que$$\Delta l_1=\Delta l_2=\Delta l$$
Logo,
$$-k\Delta l=-k_1\Delta l-k_2\Delta l\Rightarrow$$
$$k=k_1+k_2$$
Comentários